ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

第6章の式(6-58)について

原書及び和訳本では,第6章の式(6-58)は次のようである: $$ \displaystyle \def\mbraket#1{\mathinner{\left[#1\right]}} K^{(2)}(b,a)=\left(\frac{m}{2\pi\hbar^{2}}\right)^{2}\left(\frac{m}{2\pi i\hbar T}\right)^{3/2}\int d^{3}\mathbf{r}_c \int d^{3}\mathbf{r}_d \frac{r_{cd}+r_{ac}+r_{bd}}{r_{cd}r_{ac}r_{bd}}\\ \qquad\times\exp\mbraket{\left(\frac{im}{2\hbar T}\right)(r_{cd}+r_{ac}+r_{bd})^{2}}V(\mathbf{r}_c)V(\mathbf{r}_d) $$ ところが校訂版では,この式の右辺には因子$½$が付加されている: $$ \displaystyle \def\mbraket#1{\mathinner{\left[#1\right]}} K^{(2)}(b,a)=\frac{1}{2}\left(\frac{m}{2\pi\hbar^{2}}\right)^{2}\left(\frac{m}{2\pi i\hbar T}\right)^{3/2}\int d^{3}\mathbf{r}_c\dotsb $$ そのために校訂版では,その次の式(6-59)の第2項にも原書にはない因子$½$が挿入されている

数学の苦手な小生が苦心して計算して見たところ,結果は原書のようになった.この式(6-58)を計算するには式(6-13)を用いると思うのだが,ぼっとすると校訂版では式(6-7)を用いたのではないだろうか?.というのは,同じ$K^{(2)}(b,a)$を計算する式(6-13)と式(6-7)では因子$½$だけ異なっているからである.ファインマンは式(6-15)の前の処で次のように述べている:

式(6-7)にあった因子$½$が式(6-13)では一見省略されているように見えることに疑問を抱く読者もいるであろう.・・・

これは数学の才がない者の単なる計算ミスに依る全くの邪推で,校訂版が正しいのかも知れない.しかし挑戦して見たという事で,一応は報告をしておく事にします.「因子$½$が挿入された本当の理由」をご存知の方が居られてコメント頂けるならば幸いです.

第6章の式(6-101)の下の式について

原書とその邦訳本そして校訂版のどの本に於いても,第6章の式(6-101)の次にある式は以下のようになっている: $$ 2i\int_0^{\infty}\frac{\sin y}{y}\,dy=2\pi i $$

しかし,岩波の「数学公式$\mathrm{I}$」§56 (p.251) に次の公式が載っている: $$ \int_0^{\infty}\frac{\sin ax}{x}\,dx=\pm \frac{\pi}{2},\qquad (a>0,\text{or}\ a< 0)\ $$ ただし$\pm$は$a$と同符号である.この公式は次のサイトでも確かめられるであろう: www.wolframalpha.com よって,上式の右辺の因子2は除くことが必要で,次とすべきであろう: $$ 2i\int_0^{\infty} \frac{\sin y}{y}\,dy=i\pi $$

邦訳版の第3章の式(3.26)のタイプミス

初版の原書の式(3.26)は次となっている: $$ \displaystyle \def\mbraket#1{\mathinner{\left[#1\right]}} \psi(x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar}}\mbraket{T\theta\left(\frac{1}{T}+\frac{1}{\theta}+\frac{i\hbar}{b^{2}m}\right)}^{-½}\\ \quad\times\exp\mbraket{\frac{im}{2\hbar}\left(\frac{x^{2}}{\theta}+\frac{x_0^{2}}{T}\right)-\frac{\left(\frac{im}{\hbar}\right)^{2}\left(-\frac{x}{\theta}+\frac{x_0}{T}\right)^{2}}{4\left(\frac{im}{2\hbar}\right)\left(\frac{1}{\theta}+\frac{1}{T}+\frac{i\hbar}{b^{2}m}\right)}} $$

しかし,その邦訳版ではそれが次となっている: $$ \displaystyle \def\mbraket#1{\mathinner{\left[#1\right]}} \psi(x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar}}\mbraket{T\theta\left(\frac{1}{T}+\frac{1}{\theta}+\frac{i\hbar}{b^{2}m}\right)}^{-½}\\ \quad\times\exp\mbraket{\frac{im}{2\hbar}\left(\frac{x^{2}}{\theta}+\frac{x_0^{2}}{T}\right)-\frac{\left(\frac{im}{\hbar}\right)^{2}\left(-\frac{x}{\theta}+\frac{x_0}{T}\right)^{2}}{4\left(\frac{im}{2\hbar}\right)\frac{1}{\theta}+\frac{1}{T}+\frac{i\hbar}{b^{2}m}}} $$ すなわち「指数関数の引数部分の第2項目の分母中のカッコ( )が抜けている」というタイプミスがあるので注意が必要である.

ただし,前述したように「うまく\tauが表示出来ない」ので, 「\tauの代わりに$\theta$を用いた」ことを断わっておく.

ちなみに, D,F.Styerの校訂版ではこの式は式展開された形に書かれており,見た目がだいぶ異なった表現になっているようだ.

ディラック記法をMarkdownで表示する

Qiitaのyyuという方が,「ディラック記法を綺麗に表示する方法」を書かれていましたので紹介しておきます.

$$ \def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}}\\ \ket{\psi} = \alpha\ket{0} + \beta\ket{1},\\ \braket{\alpha}{\beta}, \\ \braket{\lambda\left(\array{1 \\ 0}\right)}{\beta} $$

上記のコードは以下のようである:

$$
\def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}}
\def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}}
\def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}}\\\
\ket{\psi} = \alpha\ket{0} + \beta\ket{1}\\\
\braket{\alpha}{\beta} \\\
\braket{\lambda\left(\array{1 \\\ 0}\right)}{\beta}
$$

MathJaxによる表示でeta, sigma,tauが書けない

Markdownモードに於いてMathjaxを用いてギリシャ文字を表現しようとしたら,

$\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon,\zeta,\theta,\iota,\kappa,\lambda,$

$\mu,\nu,\xi,\pi,\rho,\upsilon,\phi,\chi,\psi,\omega$,

は表示するのに,

$\eta$,$\sigma$,$\tau$,

の3つがなぜかきちんと表示できない!

どなたか教えて頂けないでしょうか!!.

[参考] Markdown記法ではうまく表示されました:


\displaystyle
\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta,\ \epsilon,\ \zeta,\ \underline{\eta},\ \theta,\ \iota,\ \kappa,\ \lambda,


\displaystyle
\mu,\ \nu,\ \xi,\ \pi,\ \rho,\ \underline{\sigma},\ \underline{\tau},\ \upsilon,\ \phi,\ \chi,\ \psi,\ \omega

[tex:
\displaystyle
\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta,\ \epsilon,\ \zeta,\ \eta,\ \theta,\ \iota,\ \kappa,\ \lambda,
]
[tex:
\displaystyle
\mu,\ \nu,\ \xi,\ \pi,\ \rho,\ \sigma,\ \tau,\ \upsilon,\ \phi,\ \chi,\ \psi,\ \omega
]