問題 12 - 2 の解答例
Problem 12-2
Show that the constant required to normalize the probability function
is
\begin{equation} \text{const} = \sqrt{\frac{6}{\pi R T^{3}}}\sqrt{\frac{1}{2\pi R T}} \tag{12.77} \end{equation}
(解答) § 3.5 ガウス積分, に於いて「経路 $x(t)$ は古典的経路 $\bar{x}(t)$ とそれからのズレ $y(t)$ の和として考えることが出来た： $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} $
\begin{equation}
x(t)=\bar{x}(t)+y(t), \quad \text{where}\quad y(t_a)=y(t_b)=0
\tag{1}
\end{equation}
ただし $y(t)$ は端点 $a,\,b$ でゼロである．このとき, 経路積分は古典的作用を として次に表わすことが出来た：
\begin{align}
K(b,a)&=\int_a^{b}\mathscr{D}x(t)\,\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[b,a]\right)\notag\\
&=e^{iS_{c\,l}[b,a]/\hbar}\int_0^{0}\mathscr{D}y(t)\,\exp\left\{\frac{i}{\hbar}
\int_{t_a}^{t_b}dt\,\Bigl[ a(t)^{2}\dot{y}^{2}+b(t)\dot{y}y+c(t)y^{2} \Bigr]\right\}\notag\\
&=e^{iS_{c\,l}[b,a]/\hbar}F(t_b,t_a)
\tag{2}
\end{align}
特に自由粒子の場合の経路積分は, 式(3.3)より $x=x_b-x_a,\,T=t_b-t_a$ として次となった：
\begin{align}
K(b,a)&=\int_a^{b}\mathscr{D}x(t)\,\exp\left(\frac{i}{\hbar}\int_a^{b}\frac{m}{2}\dot{x}^{\,2}
\,dt\right)
=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar T}}\,\exp\left(\frac{imx^{2}}{2\hbar T}\right)\tag{3}\\
F(t_b,t_a)&=\int_0^{0}\mathscr{D}y(t)\exp\left(\frac{im}{2\hbar}
\int_{t_a}^{t_b}\dot{y}^{\,2}\,dt\right)=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar T}}\tag{4}\\
\end{align}
問題とする式(12.72)の は, ちょうど上式(3)の自由粒子の経路積分の式と同じ形をしている!：
\begin{align}
K(b,a)&=\int_a^{b}\mathscr{D}x(t)\,\exp\left(\frac{im}{2\hbar}\int_a^{b} \dot{x}^{\,2}\,dt\right)
\tag{3'}\\
\rightarrow\ P(D,\theta)&=\int \mathscr{D}x(t)\,\exp\left(-\frac{1}{2R}
\int_0^{T}dt\,\ddot{x}^{\,2}(t)\right)
\tag{12.72}
\end{align}
このとき, 対応関係は次であることに注意する：
\begin{equation}
\frac{im}{2\hbar}\quad\longrightarrow\quad \frac{-1}{2R}
\tag{5}
\end{equation}
式(12.76)の確率関数 は定数部分を $C_{c\,l}$ として, 具体的に $D$ での積分を実行して見ると次となる：
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} P(D,\theta)\,dD=C_{c\,l}\sqrt{\frac{\pi RT^{3}}{6}}
\exp\left(-\frac{\theta^{2}}{2RT}\right)
\tag{6}
\end{equation}
式(12.76) は「端点条件が課された経路に対する振幅である」から, これは自由粒子の場合の式(2)の $e^{iS_{c\,l}/\hbar}$ の部分に相当するであろう!!．従って次であるべきである：
\begin{equation*}
\exp\left(\frac{imx^{2}}{2\hbar T}\right)\quad\to\quad
C_{c\,l}\sqrt{\frac{\pi RT^{3}}{6}}\,\exp\left(-\frac{\theta^{2}}{2RT}\right)
\end{equation*}
よってこのときの $C_{c\,l}$ は次である：
\begin{equation}
C_{c\,l} \sqrt{\frac{\pi RT^{3}}{6}} =1 \quad\therefore\quad C_{c\,l}=\sqrt{\frac{6}{\pi RT^{3}}}
\tag{7}
\end{equation}
そして 積分は自由粒子の $dy$ 積分に相当している．よって, 残りの $F(t_b,t_a)$ は
積分によって与えられる．それは自由粒子の式(4)に対して, 対応関係式(5)による置き換えにより求めることが出来る．従って,
\begin{equation}
F(t_b,t_a)=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar T}}=\sqrt{\frac{i m}{2\hbar}\cdot\frac{-1}{\pi T}}
\quad\longrightarrow\quad
\sqrt{\frac{-1}{2R}\cdot\frac{-1}{\pi T}}=\sqrt{\frac{1}{2\pi RT}}
\tag{8}
\end{equation}
以上の結果(7)と(8)とから, 確率関数 の規格化定数 $C$ は次であるべきである：
\begin{equation}
C=F(t_b,t_a)\,C_{c\,l}=\sqrt{\frac{1}{2\pi RT}} \sqrt{\frac{6}{\pi RT^{3}}}
\tag{9}
\end{equation}
