ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

式(8-78)の説明文について

式(8-78)以降の議論は,以下のようにした方が良いと思われた.

式(8-78)を次のように書いて見ると,その下の説明文:「式(8-78)に因子$½$が再び現れている.なぜなら$\alpha$の正負の全ての値について和をとると$Q_{-\alpha}^{*}Q_{-\alpha}=Q_{\alpha}Q_{\alpha}^{*}$であるので,それぞれの項を2度数えることになるからである.」の意味が分かり易くなると思われる: $$ \begin{align} L&=\frac{1}{2}\sum_{\alpha=0}^{N-1}\Bigl(\dot{Q}_{\alpha}^{*}\dot{Q}_{\alpha}-\omega_{\alpha}^{2}Q_{\alpha}^{*}Q_{\alpha}\Bigr) \tag{8-78}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{\alpha=-\frac{1}{2}(N-1)}^{\frac{1}{2}(N-1)}\Bigl(\dot{Q}_{\alpha}^{*}\dot{Q}_{\alpha}-\omega_{\alpha}^{2}Q_{\alpha}^{*}Q_{\alpha}\Bigr) =\sum_{\alpha=0}^{\frac{1}{2}(N-1)}\Bigl(\dot{Q}_{\alpha}^{*}\dot{Q}_{\alpha}-\omega_{\alpha}^{2}Q_{\alpha}^{*}Q_{\alpha}\Bigr) \label{8-78com} \end{align} $$ 式(8-74)の下に述べられているように「$\alpha$の値は正と負の両方を考えると便利な場合がある.例えば$N$が奇数のときの$\alpha$の値域は,$\alpha=0\sim (N-1)$ではなくて$\alpha=-\frac{1}{2}(N-1)\sim +\frac{1}{2}(N-1)$の範囲を考えると良い」から,式\eqref{8-78com}のように書けるからである.このとき,式(8-79)と式(8-80)を次のように書き直す: $$ \begin{align} &Q_{\alpha}=Q_{\alpha}^{C}-iQ_{\alpha}^{S},\quad Q_{\alpha}^{*}=Q_{-\alpha}=Q_{\alpha}^{C}+iQ_{\alpha}^{S},\quad\rightarrow\quad Q_{\alpha}^{*}Q_{\alpha}=\left(Q_{\alpha}^{C}\right)^{2}+\left(Q_{\alpha}^{S}\right)^{2} \tag{8-79'}\\ &Q_{\alpha}^{C}=\frac{1}{2}\left(Q_{\alpha}+Q_{-\alpha}\right),\quad Q_{\alpha}^{S}=\frac{1}{2i}\left(Q_{\alpha}-Q_{-\alpha}\right),\quad Q_{0}=Q_{0}^{C},\quad Q_{0}^{S}=0 \tag{8-80'} \end{align} $$ として見る.すると複素数である1つの基準座標$Q_\alpha$に対して2つの実数の基準座標$Q_\alpha^{C}$と$Q_\alpha^{S}$が存在する.従って,この場合$\alpha=0$の1個と$\alpha=1\sim\frac{1}{2}(N-1)$に2個ずつの基準座標があることになるから,合計して$\left\{1+\frac{1}{2}(N-1)\times 2\right\}=N$個の実数の基準座標が存在する事になる訳である.

そして運動エネルギー$T$を次のように書こう: $$ \begin{align} T&=\sum_{i=0}^{N-1}\frac{1}{2}\dot{Q}_{i}^{2}=\sum_{i=0}^{\frac{1}{2}(N-1)}\frac{1}{2}\dot{Q}_{i}^{2} +\sum_{i=\frac{1}{2}(N+1)}^{(N-1)}\frac{1}{2}\dot{Q}_{i}^{2} \equiv \sum_{\alpha=0}^{\frac{1}{2}(N-1)}\frac{1}{2}\left(\dot{Q}_{\alpha}^{C}\right)^{2}+\sum_{\alpha=0}^{\frac{1}{2}(N-1)}\frac{1}{2}\left(\dot{Q}_{\alpha}^{S}\right)^{2}\notag\\ &=\frac{1}{2}\sum_{\alpha=0}^{\frac{1}{2}(N-1)}\left[\left(\dot{Q}_{\alpha}^{C}\right)^{2}+\left(\dot{Q}_{\alpha}^{S}\right)^{2}\right] \label{8-81com} \end{align} $$ この運動エネルギーの式\eqref{8-81com}は,式(8-79')を利用して次のように書ける: $$ \begin{align} T&=\sum_{i=0}^{N-1}\frac{1}{2}\dot{Q}_{i}^{2}=\frac{1}{2}\sum_{\alpha=0}^{\frac{1}{2}(N-1)}\left[\left(\dot{Q}_{\alpha}^{C}\right)^{2}+\left(\dot{Q}_{\alpha}^{S}\right)^{2}\right]=\frac{1}{2}\sum_{\alpha=0}^{\frac{1}{2}(N-1)}\dot{Q}_{-\alpha}\dot{Q}_{\alpha}\notag\\ &=\frac{1}{2}\sum_{\alpha=0}^{\frac{1}{2}(N-1)}\dot{Q}_{\alpha}^{*}\dot{Q}_{\alpha} \tag{8-81'} \end{align} $$ 従って,最初の文章中の「再び」は削除しておくことにすればよい

以上のことを理解するには,同じ内容を述べている書物,例えばテル・ハール:「解析力学」の§4.1などが参考になると思われる.

然しながら,「$Q_{\alpha}^{C}$と$Q_{\alpha}^{S}$とは同じ基準振動モードと見做される」ことが後で判明したので,上記の議論で用いた式(8-79')や式(8-80')は不適切であることが分かった.