ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

式(11-57)中の波数$k$についての積分

式(11-57)中の波数$\mathbf{k}$についての積分を実際に行うことは数学の苦手な初心者には少しハードルが高かった。苦労した結果を少し詳しく書いておく.まず関係する部分だけを抜き出すと次となる: $$ \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} \begin{equation} I=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\,\reverse{k^{2}}\,e^{i\mb{k}\cdot\left[\mb{x}(t)-\mb{x}(s)\right]} \label{eqn11-57} \end{equation} $$ このとき$d^{3}\mb{k}$の極座標表現は$|\mb{k}|=k$とすると, $$ \begin{equation} d^{3}\mb{k}=k^{2}dk\,\sin\theta d\theta d\phi \end{equation} $$ である.よって式\eqref{eqn11-57}は, $$ \begin{align} I&=\iiint \frac{k^{2}dk\,\sin\theta d\theta d\phi}{(2\pi)^{3}}\frac{e^{i\mb{k}\cdot\left[\mb{x}(t)-\mb{x}(s)\right]}}{k^{2}} =\iiint\frac{dk\,\sin\theta d\theta d\phi}{(2\pi)^{3}}\,e^{i\mb{k}\cdot\left[\mb{x}(t)-\mb{x}(s)\right]}\notag\\ &=\reverse{(2\pi)^{3}}\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{\infty}dk\int_{0}^{\pi}d\theta\,\sin\theta\,e^{i\mb{k}\cdot\left[\mb{x}(t)-\mb{x}(s)\right]}\notag\\ &=\reverse{(2\pi)^{2}}\int_{0}^{\infty}dk\int_{0}^{\pi}d\theta\,\sin\theta\,e^{i\mb{k}\cdot\left[\mb{x}(t)-\mb{x}(s)\right]} \end{align} $$ ここで$\mb{k}\cdot\left[\mb{x}(t)-\mb{x}(s)\right]=k|\mb{x}(t)-\mb{x}(s)|\cos\theta$であるから,$d\theta$についての積分は$\,y=\cos\theta$とおくと, $$ \begin{align} \int_{0}^{\pi}d\theta\,\sin\theta\,e^{i\mb{k}\cdot\left[\mb{x}(t)-\mb{x}(s)\right]} &=\int_{-1}^{1}dy\,e^{i\mb{k}|\mb{x}(t)-\mb{x}(s)|y} =\reverse{ik|\mb{x}(t)-\mb{x}(s)|}e^{i\mb{k}|\mb{x}(t)-\mb{x}(s)|y}\Bigg|_{-1}^{1}\notag\\ &=\frac{2\sin k|\mb{x}(t)-\mb{x}(s)|}{k|\mb{x}(t)-\mb{x}(s)|} \end{align} $$ よって積分$I$は, $$ \begin{equation} I=\reverse{(2\pi)^{2}}\int_{0}^{\infty}dk\,\frac{2\sin k|\mb{x}(t)-\mb{x}(s)|}{k|\mb{x}(t)-\mb{x}(s)|} =\frac{2}{(2\pi)^{2}}\int_{0}^{\infty}dk\,\frac{\sin k|\mb{x}(t)-\mb{x}(s)|}{k|\mb{x}(t)-\mb{x}(s)|} \end{equation} $$ ここで$a>0$として次の積分公式が成り立つ: $$ \begin{equation} \int_0^{\infty}\frac{\sin ax}{ax}\,dx=\frac{\pi}{2a} \end{equation} $$ この公式が成り立つことは,やはり次のサイトで確認することが出来るであろう:

Wolfram|Alpha: Computational Knowledge Engine

この積分公式を利用するならば,式\eqref{eqn11-57}の波数$\mb{k}$についての積分は最終的に次の結果となる: $$ \begin{align} I&=\reverse{2\pi^{2}}\int_{0}^{\infty}dk\,\frac{\sin k|\mb{x}(t)-\mb{x}(s)|}{k|\mb{x}(t)-\mb{x}(s)|} =\reverse{2\pi^{2}}\frac{\pi}{2|\mb{x}(t)-\mb{x}(s)|}\notag\\ &=\reverse{4\pi|\mb{x}(t)-\mb{x}(s)|} \end{align} $$