ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

式(11-69)の導出

前に書いた記事に関連して,式(11.69)の導出に挑戦した過程を示しておこう.式(11.67)を$I=\exp(I')$とすると$I'$は, $$ \begin{align} I'&=-\frac{1}{2}\int_0^{\beta}dt\,\dot{X}'(t)^{2}-\frac{C}{2}\int_0^{\beta}dt\int_0^{\beta}ds\,\Bigl[X'(t)-X'(s)\Bigr]^{2}\,e^{-w|t-s|}\notag\\ &\quad +\int_0^{\beta}dt\,f(t)X'(t) \tag{1}\label{2017-10-29_1} \end{align} $$ まずこの第1項目の積分を考える.それを部分積分すると, $$ \int_0^{\beta}\dot{X}^{'2}(t)\,dt=\Bigl[X'(t)\dot{X}'(t)\Bigr]_0^{\beta}-\int_0^{\beta}X'(t)\ddot{X}'(t)\,dt \tag{2} $$ 端点で$X(0)=X(\beta)=0$であると第1項目はゼロとなる.更に次の式(11.68)を利用する: $$ \ddot{X}'=2C\int_0^{\beta}ds\,\Bigl[X'(t)-X'(s)\Bigr]\,e^{-w|t-s|}-f(t) \tag{3} $$ すると, $$ \begin{align} &\int_0^{\beta}\dot{X}^{'2}(t)\,dt=-\int_0^{\beta}X'(t)\ddot{X}'(t)\,dt\notag\\ &\quad=-2C\int_0^{\beta}dt\,X'(t)\int_0^{\beta}ds\,\Bigl[X'(t)-X'(s)\Bigr]\,e^{-w|t-s|}+\int_{0}^{\beta} dt\,X'(t)f(t) \tag{4} \end{align} $$ これを式\eqref{2017-10-29_1}に代入して整理すると次を得る: $$ I'=\frac{C}{2}\int_0^{\beta}dt\int_0^{\beta}ds\,\Bigl[X'(t)^{2}-X'(s)^{2}\Bigr]\,e^{-w|t-s|}+\frac{1}{2}\int_0^{\beta}dt\,X'(t)f(t) \tag{5} $$ ここで第1項目がゼロ(?!)ならば,式(11.67)は無事に式(11.69)となる: $$ I=\exp(I')=\exp\left[\frac{1}{2}\int_0^{\beta}dt\,X'(t)f(t)\right] \tag{11.69} $$ すなわち,式(11.69)となるには「10月25日に書いた積分がゼロである」と言える必要があったのである.