式(11.71)と式(11.72)の導出
10月19日に書いたが，Schulmanが「積分の端点についてどうする必要があるのかよく分からない」と述べている式の導出に挑戦して見よう．
ファインマンは, まず式 (11.70) で量 $Z(t)$ を次のように定義している： $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\oodiff#1#2{\frac{d#1}{d#2}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} \def\Boodiff#1#2{\frac{d^{2}#1}{d#2^{2}}} $
\begin{equation}
Z(t)=\frac{w}{2}\int_0^{\beta} ds\,X^{'}(s) e^{-w|t-s|}
\tag{11.70}
\end{equation}
そして, これを $t$ で 2 回微分すると式 (11.71) になると言っている：
\begin{equation}
\Boodiff{Z(t)}{t}=w^{2}\Bigl[ Z(t)-X'(t) \Bigr]
\tag{11.71}
\end{equation}
また式 (11.68 ) :
\begin{equation}
\Boodiff{X'(t)}{t}=2C\int_{0}^{\beta}ds\,\Bigl[ X^{'}(t)-X^{'}(s) \Bigr]\,e^{-w|t-s|}-f(t)
\tag{11.68}
\end{equation}
は, 次の式 (11.72) のように書けると言っている：
\begin{equation}
\Boodiff{X'(t)}{t}=\frac{4C}{w}\Bigl[ X'(t)-Z(t)\Bigr] -f(t)
\tag{11.72}
\end{equation}
以上の式 (11.71) と式 (11.72) の導出の過程を以下に示す．
式 (11.71) の導出
まず $Z(t)$ を次のように書き直しておく：
\begin{align}
Z(t)&=\frac{w}{2}\left\{ \int_0^{t} ds\,X'(s)\, e^{-w(t-s)}+\int_{t}^{\beta} ds\,X^{'}(s)\, e^{-w(s-t)}\right\}\notag\\
&=\frac{w}{2}\left\{e^{-wt}\int_{0}^{t} ds\,X^{'}(s)\,e^{ws}+e^{wt}\int_t^{\beta}ds\,X^{'}(s)\,e^{-ws}\right\}
\label{1}
\end{align}
また式 (11.70) を $t$ で微分する際に, 次の公式を利用する：
\begin{equation}
\odiff{x} \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt=f[v(x)] v^{'}(x)-f[u(x) ]u^{'}(x)
\tag{2}
\end{equation}
すると, 式\eqref{1} の $Z(t)$ を $t$ で微分すると,
\begin{align}
\frac{dZ(t)}{dt}&=\frac{w}{2}\left\{ -w\,e^{-wt}\int_0^{t}ds\,X'(s)\,e^{ws}+e^{wt}X'(t)\,e^{-wt}\right.\notag\\
&\quad\left. +w\,e^{wt}\int_t^{\beta} ds\,X'(s)\,e^{-ws}-e^{wt}X'(t)\,e^{-wt}\cdot\oodiff{t}{t}\right\}\notag\\
&=-\frac{w^{2}}{2}\left\{ e^{-wt}\int_0^{t}ds\,X'(s)\,e^{ws} - e^{wt}\int_t^{\beta}ds\,X'(s)\,e^{-ws} \right\}
\tag{3}
\end{align}
これをさらに $t$ で微分すれば式 (11.71) が得られる：
\begin{align}
\odiff{t}\left(\oodiff{Z(t)}{t}\right)&=-\frac{w^{2}}{2}\left\{ -w\,e^{-wt}\int_0^{t}ds\,X'(s)\,e^{ws}+e^{-wt}X'(t)\,e^{wt}\right.\notag\\
&\quad\left. -w\,e^{wt}\int_t^{\beta} ds\,X'(s)\,e^{-ws}+e^{wt}X'(t)\,e^{-wt} \right\}\notag\\
&=-\frac{w^{2}}{2}\left\{ -w\int_0^{t} ds\,X'(s)\,e^{-w(t-s)}-w\int_t^{\beta} ds\,X'(s)\,e^{-w(s-t)} + 2X'(t)\right\}\notag\\
&=w^{2}\left\{\frac{w}{2}\int_0^{\beta} ds\,X'(s)\,e^{-w|t-s|} -X'(t) \right\}\notag\\
\therefore\quad \Boodiff{Z(t)}{t}&=w^{2}\left\{ Z(t)- X'(t)\right\}
\tag{11.71}
\end{align}
式 (11.72) の導出
まず, 上記の式 (11.68) は $Z(t)$ の定義式 (11.70) も利用すると, 次のように書き直すことが出来ることに注意する：
\begin{equation}
\Boodiff{X'(t)}{t}=2CX'(t)\int_0^{\beta}ds\,e^{-w|t-s|}-\frac{4C}{w}Z(t)-f(t)
\tag{4}
\end{equation}
この第１項中の積分は,ファインマン統計力学の p.285 に記述されているように「$e^{-w\beta}$を無視する」ことにすれば,
\begin{align}
&\int_0^{\beta}ds\,e^{-w|t-s|}=\int_0^{t}ds\,e^{-w(t-s)}+\int_t^{\beta}ds\,e^{-w(s-t)}\notag\\
&\quad=e^{-wt}\int_0^{t}ds\,e^{ws}+e^{wt}\int_t^{\beta}ds\,e^{-ws}
=\frac{1}{w}\left\{ e^{-wt}\left(e^{wt}-1\right)-e^{wt}\left(e^{-w\beta}-e^{-wt}\right)\right\}\notag\\
&\quad\approx \frac{1}{w}\bigl( 1-e^{-wt}+1\bigr)=\frac{1}{w}\bigl(2-e^{-wt}\bigr)
\tag{5}
\end{align}
更に $(2-e^{-wt})\approx 2$ と近似してしまう, すなわち「$e^{-wt}$ を無視してしまう」ならば,
\begin{equation}
\int_0^{\beta}ds\,e^{-w|t-s|}\approx \frac{2}{w}
\tag{6}
\end{equation}
これを式 (4) に代入すると式 (11.72) となることが出来る：
\begin{equation}
\Boodiff{X'(t)}{t}\approx 2C\cdot\frac{2X'(t)}{w}-\frac{4C}{w}Z(t)-f(t)=\frac{4C}{w}\Bigl[ X'(t)-Z(t) \Bigr]-f(t)
\tag{11.72}
\end{equation}
以上から, 式 (11.72) を得るには結局 L.S.Schulman が言っているように,『端点の寄与 $e^{-w\beta}$ と $e^{-wt}$ は無視する必要がある』ように思われた．( 値 $e^{-wt}$ が end-point と言えるのかどうかは知らないが )．
