ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

式(11.71)と式(11.72)の導出

10月19日に書いたが,Schulmanが「積分の端点についてどうする必要があるのかよく分からない」と述べている式の導出に挑戦して見よう.

ファインマンはまず式(11.70)で量$Z(t)$を次のように定義している: $$ Z(t)=\frac{w}{2}\int_0^{\beta} ds\,X'(s) e^{-w|t-s|} \tag{11.70} $$ そして,これを$t$で2回微分すると式(11.71)になると言っている: $$ \frac{d^{2}Z(t)}{dt^{2}}=w^{2}\Bigl[ Z(t)-X'(t) \Bigr] \tag{11.71} $$ また式(11.68): $$ \frac{d^{2}X'(t)}{dt^{2}}=2C\int_0^{\beta}ds\,\Bigl[ X'(t)-X'(s) \Bigr]\,e^{-w|t-s|}-f(t) \tag{11.68} $$ は,次の式(11.72)のように書けると言っている: $$ \frac{d^{2}X'(t)}{dt^{2}}=\frac{4C}{w}\Bigl[ X'(t)-Z(t)\Bigr] -f(t) \tag{11.72} $$ 以上の式(11.71)と式(11.72)の導出の過程を以下に示す.

式(11.71)の導出

まず$Z(t)$を次のように書き直しておく: $$ \begin{align} Z(t)&=\frac{w}{2}\left\{\int_0^{t} ds\,X'(s) e^{-w(t-s)}+\int_t^{\beta} ds\,X'(s) e^{-w(s-t)}\right\}\notag\\ &=\frac{w}{2}\left\{e^{-wt}\int_0^{t}ds\,X'(s)e^{ws}+e^{wt}\int_t^{\beta}ds\,X'(s)\,e^{-ws}\right\} \tag{1}\label{eq:2017-10-28_1} \end{align} $$ また式(11.70)を$t$で微分する際に次の公式を利用する: $$ \begin{equation} \frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt=f[v(x)]v'(x)-f[u(x)]u'(x) \tag{2} \end{equation} $$ すると,式\eqref{eq:2017-10-28_1}の$Z(t)$を$t$で微分すると, $$ \begin{align} \frac{dZ(t)}{dt}&=\frac{w}{2}\left\{-w\,e^{-wt}\int_0^{t}ds\,X'(s)e^{ws}+e^{wt}X'(t)\,e^{-wt}\right.\notag\\ &\quad\left. +w\,e^{wt}\int_t^{\beta}ds\,X'(s)e^{-ws}-e^{wt}X'(t)\,e^{-wt}\cdot\frac{dt}{dt}\right\}\notag\\ &=-\frac{w^{2}}{2}\left\{ e^{-wt}\int_0^{t}ds\,X'(s)\,e^{ws} - e^{wt}\int_t^{\beta}ds\,X'(s)\,e^{-ws} \right\} \tag{3} \end{align} $$ これをさらに$t$で微分すれば,次のように式(11.71)が得られる: $$ \begin{align} \frac{d}{dt}\left(\frac{dZ(t)}{dt}\right)&=-\frac{w^{2}}{2}\left\{ -w\,e^{-wt}\int_0^{t}ds\,X'(s)\,e^{ws}+e^{-wt}X'(t)\,e^{wt}\right.\notag\\ &\quad\left. -w\,e^{wt}\int_t^{\beta}ds\,X'(s)\,e^{-ws}+e^{wt}X'(t)\,e^{-wt} \right\}\notag\\ &=-\frac{w^{2}}{2}\left\{ -w\int_0^{t}ds\,X'(s)\,e^{-w(t-s)}-w\int_t^{\beta}ds\,X'(s)\,e^{-w(s-t)} + 2X'(t)\right\}\notag\\ &=w^{2}\left\{\frac{w}{2}\int_0^{\beta} ds\,X'(s)\,e^{-w|t-s|} -X'(t) \right\}\notag\\ \therefore\quad \frac{d^{2}Z(t)}{dt^{2}}&=w^{2}\left\{ Z(t)- X'(t)\right\} \notag \end{align} $$

式(11.72)の導出

まず上記の式(11.68)は$Z(t)$の定義式(11.70)も利用すると,次のように書き直すことが出来ることに注意する: $$ \frac{d^{2}X'(t)}{dt^{2}}=2CX'(t)\int_0^{\beta}ds\,e^{-w|t-s|}-\frac{4C}{w}Z(t)-f(t) \tag{4} $$ この第1項中の積分は,ファインマン統計力学のp.285に記述されているように「$e^{-w\beta}$を無視する」ことにすれば, $$ \begin{align} &\int_0^{\beta}ds\,e^{-w|t-s|}=\int_0^{t}ds\,e^{-w(t-s)}+\int_t^{\beta}ds\,e^{-w(s-t)}\notag\\ &\quad=e^{-wt}\int_0^{t}ds\,e^{ws}+e^{wt}\int_t^{\beta}ds\,e^{-ws} =\frac{1}{w}\left\{ e^{-wt}\left(e^{wt}-1\right)-e^{wt}\left(e^{-w\beta}-e^{-wt}\right)\right\}\notag\\ &\quad\approx \frac{1}{w}\bigl( 1-e^{-wt}+1\bigr)=\frac{1}{w}\bigl(2-e^{-wt}\bigr) \tag{5} \end{align} $$ 更に$(2-e^{-wt})\approx 2$と近似してしまう,すなわち「$e^{-wt}$を無視してしまう」ならば, $$ \int_0^{\beta}ds\,e^{-w|t-s|}\approx \frac{2}{w} \tag{6} $$ これを式(4)に代入すると式(11.72)となることが出来る: $$ \begin{align} \frac{d^{2}X'(t)}{dt^{2}}&\approx 2C\cdot\frac{2X'(t)}{w}-\frac{4C}{w}Z(t)-f(t)\notag\\ &=\frac{4C}{w}\Bigl[ X'(t)-Z(t) \Bigr]-f(t) \notag \end{align} $$

以上から,式(11.72)を得るには結局 L.S.Schulmanが言っているように,『端点の寄与$e^{-w\beta}$と$e^{-wt}$は無視する』必要があるように思われた.(値$e^{-wt}$がend-pointと言えるのかどうかは知らないが).