ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

式(11.78)から式(11.79)の$E_{0}^{'}$を求める

まず校訂版にあるように、式(11.2)と式(11.13)とから次式が言えることに注意する: $$ \lim_{\beta\to \infty} Z^{'}=e^{-\beta E_{0}^{'}}=\lim_{\beta\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{1} \int_{x_{1}}^{x_{1}} \mathscr{D}x(u)\,e^{-S^{'}} =\langle 1 \rangle \tag{1} $$ この両辺を$C$について微分する.まず$S^{'}$は式(11.61)で与えれているから, $$ \begin{align} \frac{\partial}{\partial C}e^{-S^{'}}&=-e^{-S^{'}}\frac{\partial S^{'}}{\partial C}=-e^{-S^{'}}\frac{1}{2}\int_0^{\beta} dt \int_0^{\beta}ds\, |\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}(s)|^{2}\,e^{-w|t-s|}\notag\\ \therefore\quad \frac{\partial}{\partial C}\langle 1 \rangle &=\int \mathscr{D}x(u)\,\frac{\partial}{\partial C}\,e^{-S^{'}} =\left\langle -\frac{1}{2}\int_0^{\beta} dt \int_0^{\beta} ds\,|\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}(s)|^{2}\,e^{-w|t-s|}\right\rangle\notag\\ &=-\frac{1}{2}\int_0^{\beta} dt\int_0^{\beta} ds\,|\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}(s)|^{2}\,e^{-w|t-s|}\,\langle 1 \rangle \tag{2} \end{align} $$ 他方、左辺を$C$で微分すると、 $$ \begin{align} &\frac{d}{dC}\langle 1 \rangle = \frac{d}{dC}\,e^{-\beta E_0^{'}}=-\beta\,e^{-\beta E_0^{'}}\frac{dE_0^{'}}{dC}=-\beta\,\langle 1 \rangle \,\frac{dE_0^{'}}{dC},\notag\\ \therefore &\quad \frac{dE_0^{'}}{dC}=-\frac{1}{\beta \langle 1 \rangle}\frac{d}{dC}\langle 1 \rangle \tag{3} \end{align} $$ 以上の式(2)と式(3)及び前の記事の$B$の定義から、直ちに式(11.78)が得られる: $$ \frac{dE_0^{'}}{dC}=\frac{1}{2\beta}\int_0^{\beta} dt\int_0^{\beta} ds\,|\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}(s)|^{2}\,e^{-w|t-s|}=\frac{B}{C} \tag{11.78} $$

従って,この微分方程式を解くことで$E_0^{'}$を求めることが出来る.積分する場合に初期条件として$C=$のとき$E_0^{'}=0$であることを用いる.

この微分方程式の解法を前述と同様にMathematicaで行なってみるならば、例えば次となるであろう:

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ただし$E_0^{'}\to y$、$C\to x$としてある.すると最後の結果に於いて $$ \sqrt{\frac{w^{3}+4x}{w}}=\sqrt{w^{2}+\frac{4C}{w}}=v $$ であったことに注意すると、結局この微分方程式の解$y[x]$すなわち$E_0^{'}$は式(11.79)に一致していることが分かる: $$ y[x]\to E_0^{'}=\frac{3}{2}\left(\sqrt{\displaystyle w^{2}+\frac{4C}{w}}-w\right)=\frac{3}{2}(v-w) \tag{11.79} $$