ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

式(5.17)について

約1ヶ月ぶりに書く記事である.今は第12章「確率論に於ける諸問題」に取り組んでいるのだが、学生時代から確率・統計は非常に苦手なので、例によって式を理解するのに大分苦労している.そのために多くの参考書を見ながら再勉強している訳である. その中で例えば、H.P.スウ:「フーリエ解析」(これは確率論の本ではないですね)を読んでいた.そのとき、以前の事がフーリエ変換に関係している事に気付いたので報告しておこう.

第5章の式(5.17)は次である: $$ \int_{0}^{\infty} dt\,e^{i\omega t}=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{i}{\omega+i\varepsilon}=\mathrm{P.P.}\, \left(\frac{i}{\omega}\right)+\pi\,\delta(\omega) \tag{5.17} $$ この式(5.17)を証明するのには複素関数論を勉強する必要があると思われる.しかしこの式は、次の「ヘビサイドの単位関数」または「単位階段関数」: $$ u(t)=\begin{cases} 1 & t>0 \\ 0 & t<0\end{cases} \tag{1} $$ のフーリエ変換に等価な表現と見做すことが可能であろう: $$ \mathscr{F}[u(t)]=\int_{-\infty}^{\infty} u(t)\,e^{-j\omega t}\,dt=\int_0^{\infty} e^{-j\omega t}\,dt=\pi\,\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega} \tag{2} $$ 従って「フーリエ解析」しか知らない方でも式(5.17)の意味は理解できるなと思いました.(工学系の本では、慣習として虚数単位に$i$の代わりに$j$を用いることは皆さんよくご存知のことですね).