ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

光子計数の統計に対するマンデルの公式について

前の記事に関連して参考書を調べていて気になった事柄を記しておく.

エミール・ウォルフ:「光のコヒーレンスと偏光理論」の§7.5 光のゆらぎの光電検出に関するマンデルの理論 ,の中で「マンデルの公式」が示されている.

直線偏光をした入射光が、ゆらぎのある「複素解析信号」: $$ V(t)=\int_0^{\infty} u(w)\,e^{-i\omega t}\,d\omega \tag{1} $$ によって表現されると仮定する.この光が光電検出器に入射する場合、検出器内で電子が時間間隔$(t,t+T)$の範囲内で放出される確率$P(t)\Delta t$は、瞬時強度$I(t)=V^{*}(t)V(t)$に比例すると考えられる: $$ P(t)\Delta t = \alpha I(t)\Delta t \tag{2} $$ ただし$\alpha$は光検出器の量子効率を表す定数である.このとき、$n$個の電子が時間間隔$(t,t+T)$の範囲内で放出される確率は「ポアソン分布」になる事が示される: $$ p(n,t,T)=\frac{1}{n!}[\alpha W(t,T)]^{n}\,e^{-\alpha W(t,T)} \tag{3} $$ ただし$W(t,T)$は、検出器に入射する光の時間間隔$(t,t+T)$に渡る積分強度である: $$ W(t,T)=\int_t^{t+T} I(t')\,dt' \tag{4} $$ この式(3)が「マンデルの公式」である .因みに、この式はファインマン:「量子力学経路積分」の式(12.1)に相当している.

この「マンデルの公式」の証明が巻末の付録に載っている.その中の式(4)をいつものようにMathematicaを使って確かめようとしたのだが、結果は少し違うようであった.ただし証明の議論には全く影響しない瑣末な事でここで敢えて指摘するべきものではない.でも一応は報告しておこうと思う.

式(4)は次のようになっている: $$ \begin{align} \prod_{i=0}^{T/\Delta t} \Bigl[1-\alpha I(t_i)\Delta t\Bigr]&=1-\left[\sum_{i=0}^{T/\Delta t}\alpha\,I(t_i)\Delta t \right]\notag\\ &+\frac{1}{2!}\left[\sum_{i=0}^{T/\Delta t}\alpha\,I(t_i)\Delta t \right]^{2}-\frac{1}{2!}\sum_{i=0}^{T/\Delta t}\alpha^{2}\,I^{2}(t_i)(\Delta t)^{2} \notag\\ &-\frac{1}{3!}\left[\sum_{i=0}^{T/\Delta t}\alpha\,I(t_i)\Delta t \right]^{3}+\frac{1}{3!}\sum_{i}\sum_{j}\alpha^{3}\,I(t_i)\,I^{2}(t_j)(\Delta t)^{3} \notag\\ &+\dotsb \tag{5} \end{align} $$ $\Delta t\to 0$のとき、上式の$1$とカッコ$[\dotsb]$の付いた項たちをまとめたものは、次の左辺の指数関数の級数展開になっていることは明らかだ: $$ \exp\left[-\sum_{i=0}^{T/\Delta t} \alpha\,I(t_i)\,\Delta t\right]=1-\left[\sum_{i=0}^{T/\Delta t}\alpha\,I(t_i)\Delta t \right] +\frac{1}{2!}\left[\sum_{i=0}^{T/\Delta t}\alpha\,I(t_i)\Delta t \right]^{2}-\dotsb $$ そして、残りの項たちは$\Delta t$について2次以上であるから$\Delta t\to 0$の極限では高次の無限小として無視できる.問題はその無視できる部分の$\Delta t$の3次の項についてである.残りの項たちをMathematicaで調べて見ることを、例えば次のように行って見た:

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従って、どうやらそれは次のように修正した方が良いのではと思われた (いつもの様に間違っているかも知れないが): $$ \begin{align} &\frac{1}{3!}\sum_i\sum_j \alpha^{3}\,I(t_i)\,I^{2}(t_j)(\Delta t)^{3}\notag\\ &\rightarrow\quad \frac{1}{3!}\sum_i \alpha^{3}\,I^{2}(t_i)(\Delta t)^{3}+\frac{1}{2}\sum_{i\ne j} \alpha^{3}\,I(t_i)\,I^{2}(t_j)(\Delta t)^{3} \tag{6} \end{align} $$ 再度述べておくが、これは証明の議論には全く影響のない瑣末な問題である!!.

誰かさんの人生の問題みたいだ?!〜〜〜〜.

(追加) 物理屋さんが使う数学は,数学者さんのそれに比べると少しいい加減な議論をしている(良い加減の議論でもある?)ことがあるようだ.数学の出来ない者にとっては数学者の書いた本はとても読めないが,物理屋さんの本なら何とか追うことが出来るので,購入するのはそう言う本だけである.これは数学者がちょっと見るとまずいなと思う式に出会うこともある.例えば,ある経路積分に関係した洋書に次のような記述があった:

The operators $$ R=\left(\begin{array} {ccccc} \ddots & & & & 0 \\ 1 & 0 & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & 1 & 0 & \\ 0 & & & \ddots & \ddots \end{array}\right) ,\quad L=\left(\begin{array}{ccccc} \ddots & \ddots & & 0\\ & 0 & 1 & & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 0 & 1 \\ 0 & & & & \ddots \end{array}\right) $$ shift the particle's position to the right and left respectively by the amount $h$. Obviously, $L=R^{-1}$ and thus $RL=LR$. This clarifies the structure of the operator $P$ and its powers. $\dotsb\dotsb$

「転置行列」なのに「逆行列」としている?!.従って数学的には$RL=LR$は言えない?!と思われる。しかしよく読んで見ると,これは「初期確率分布$p$」に作用する「演算子」と考えているのであった.のでやはり正しいようだ!!!.wxMaximaで確認するならば例えば次のようだ:

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ただし厳密に言うならば、端点に要素が有る,例えば $p=[0.5,0,0,0,0,0.5]^{t}$ の場合には,境界効果で正しい振舞いをしない.と神の声が教えてくれました.学生さんたちは,大事だと思う論文や本の中の式たちは,なるべく自分で"慎重に"確認して行く方が良いと思いました.うっかり八兵衛ではだめだ〜〜〜.