ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

たたみ込みの可換性

原書及び訳本では、式(12.45)の前で「関数$B$は相関関数$A$の逆であること」,すなわち,次のような「たたみ込み」(convolution)の関係式が成り立つと書いてある: $$ A(t)*B(t)\equiv \int ds\, B(t-s)A(s)=\delta (t) \tag{1} $$ これを校訂版では次式のように修正している: $$ \int ds\, A(t-s)B(s)=\delta (t) \tag{2} $$ しかし,「たたみ込み」では可換則結合則が成り立つ: $$ \begin{align} f(t)&=f_1(t)*f_2(t) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} ds\,f_1(s)f_2(t-s),\tag{3}\\ \rightarrow &\quad f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t),\quad [f_1(t)*f_2(t)]*f_3(t)=f_1(t)*[ f_2(t)*f_3(t)] \tag{4} \end{align} $$ 例えば、H.P.スウ:「フーリエ解析」の§ 4. 7 を参照されたい.

この可換則が成り立つことは,例えば式(1)に於いて変数を$(t-s)\to u$とすると,式(1)は式(2)に一致することで確認できる.このとき$s=t-u$、また$ds=-du$であるから, $$ A(t)*B(t)=\int_{-\infty}^{\infty} ds\,B(t-s)A(s)=\int_{-\infty}^{\infty} du\,B(u)A(t-u) \tag{5} $$ ここで変数を$u\to s$と書き直すと,式(5)はまさに式(2)そのものである: $$ \int du\,B(u)A(t-u)=\int ds\,B(s)A(t-s)=\int ds\,A(t-s)B(s)\equiv B(t)*A(t) $$

校訂版が敢えて式(2)のように修正したのは, 式(12.42)からの導出を考えているからであった.すなわち, 式(12.42)に於いてA(t,\tau)=A(t-\tau)B(\tau,s)=B(\tau-s) とすると,

\displaystyle
\int d\tau\,A(t,\tau)\,B(\tau,s)=\delta(t-s)\ \rightarrow\ \int d\tau\,A(t-\tau)\,B(\tau-s)=\delta(t-s)

となるが, 更に$s=0$とすれば式(2)の形になるからである:

\displaystyle
\int d\tau\,A(t-\tau)\,B(\tau)=\delta(t)


この議論は問題(12.1)に関連したものである.今その問題(12.1)に挑戦しているのだが,神の声も聞こえず手がかりが全然ない〜〜。いつになったら解けるだろう?