ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

問題 2-1 の解答例

ファインマン& ヒッブス著「量子力学経路積分」には、問題が122問も存在している.それらに対して,今日から自己流に考えた解答例を順に書いて行こうと思う.

(参考) 校訂者のDaniel F. Styer 氏のホームページには Difficult points として次の問題には解答が示されているので参照されたい: 問題2-2、問題6-13、問題3-10、問題3-11、問題8-1.

Quantum Mechanics and Path Integrals

第1章には問題はないので,まずは第2章の (問題 2-1) からである.

【 問題 2−1】 自由粒子ラグランジアンは $L=m\dot{x}^{2}/2$である.自由粒子の古典的運動に対する作用$S_{cl}$が次であることを示せ: $$ S_{cl}=\frac{m}{2}\frac{(x_b-x_a)^{2}}{t_b-t_a} \tag{2.8} $$


( 解答 ) ラグランジアン$L$に対するラグランジュ方程式(2.7)は次である: $$ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) -\frac{\partial L}{\partial x}=0 \tag{2.7} $$ これを初期条件のもとで解けば良い: $$ \begin{align} &\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial}{\partial\dot{x}}\left(\frac{m}{2}\dot{x}^{2}\right)=m\dot{x},\quad \frac{\partial L}{\partial x}=0, \notag\\ \rightarrow\quad &\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) -\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{d}{dt} m\dot{x}=0\quad \therefore\quad \dot{x}=Const=v_0 \tag{1} \end{align} $$ よって速さが一定値$v_0$であれば良いことが分かる.初期時刻$t_a$に位置$x_a$にあり終了時刻$t_b$には位置$x_b$にいるとするならば,その一定速度$v_0$は次に書けることは明らかだ: $$ v_0=\frac{x_b-x_a}{t_b-t_a} \tag{2} $$ このときの古典的作用$S_{cl}$は式(2.1)から求められる.よって,次のようにして式(2.8)が得られる: $$ \begin{align} S_{cl}&=\int_{t_a}^{t_b} L\,dt=\int_{t_a}^{t_b} \frac{m}{2}\dot{x}^{2}\,dt =\int_{t_a}^{t_b} \frac{m}{2}v_{0}^{2}\,dt\notag\\ &=\frac{m}{2}v_{0}^{2}\int_{t_a}^{t_b} dt=\frac{m}{2}v^{2}_{0}\,(t_b-t_a) =\frac{m}{2}\left(\frac{x_b-x_a}{t_b-t_a}\right)^{2}\times (t_b-t_a)\notag\\ &=\frac{m}{2}\frac{(x_b-x_a)^{2}}{t_b-t_a}\notag \end{align} $$


今取り組んでいる問題には暫く答えられそうにない.ので問題12-1を考えながら,同時並行で問題の解答も書いて行こう.人生いつどうなるか分からないのだから,書けるうちにやって行かないとと思うからである.問題が100個以上あるので,しばらくはずっと記事が書けそうだ.