ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

問題 2-3 の解答例

校訂版はこの問題文の表記を変更している.しかしこれ以降で示すブログの解答例は、原則として「原書」の問題文に対してのものにしようと思う.ただし,符号などで校訂版の方が良いと判断されるなどの場合は例外とする.また,これ以降は問題文も原則として原書のものを示して行くことにする.

Problem 2-3

Find $S_{cl}$ for a particle under a constant force $F$, that is, $L=m\dot{x}^{2}/2-Fx$.


(解答) ラグランジアンが違うだけであるから,解答を得るには前問と全く同じ手順で行えば良い.この場合のラグランジュ方程式は次となる: $$ \def \ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \begin{align} &\ppdiff{L}{\dot{x}}=m\dot{x},\qquad \ppdiff{L}{x}=-F,\notag\\ \rightarrow \quad &\odiff{t}\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)-\ppdiff{L}{x}=\odiff{t} m\dot{x} + F=0,\quad \therefore\quad \ddot{x}=-\frac{F}{m} \tag{1} \end{align} $$ この微分方程式の一般解$x(t)$は容易に求めることができる:$x(t)=-(F/2m)t^{2}+C_2 t+C_1$.また,この積分定数$C_1,\,C_2$は初期条件:$x(0)=x_a,\,x(T)=x_b$から決定できる: $$ C_1=x_a,\qquad C_2=\frac{FT^{2}-2m(x_a-x_b)}{2mT} \tag{2} $$ すると,この時のラグランジアン$L$は, $$ \begin{align} L(t)&=\frac{m}{2}\dot{x}^{2}(t)-Fx(t)\notag\\ &=\frac{m}{2}\left(\frac{F}{m}t-\frac{FT}{2m}+\frac{x_a-x_b}{T}\right)^{2}+\frac{F^{2}}{2m}t^{2}-Fx_a-\frac{F^{2}T}{2m}t+\frac{F(x_a-x_b)}{T}t \tag{3} \end{align} $$ そして作用$S_{cl}$は、この$L(t)$の時間積分として次のように求まる: $$ S_{cl}=\int_0^{T}L(t)\,dt=\frac{m}{2T}(x_a-x_b)^{2}-\frac{FT}{2}(x_a+x_b)-\frac{F^{2}T^{3}}{24m} \tag{4} $$ これが解答である.(訳本ではこの式が解として示されている).


前問と同様に,計算はMathematicaにより行ったのでその過程を示しておく:

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