ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

式(12.17)$\sim$式(12.21)の修正

§12.3 雑音 に於ける式(12.17)から式(12.21)は 原書と訳本とで異なっている!校訂版も基本的に原書と同じ表現であり, 修正は無いと言える.それらを分かり易い校訂版の表式で示すと次である:

$$ \begin{align} \Phi[k(t)]&=\int_0^{T}\dotsb \int_0^{T}\int_0^{T}\exp\left\{ i\sum_{j=1}^{n} k(t)g(t-t_j)\,dt\right\}\frac{dt_1}{T}\frac{dt_2}{T}\dotsb\frac{dt_n}{T}\notag\\ &=\left(\int_0^{T}e^{i\int k(t+s)g(t)dt}\frac{ds}{T}\right)^{n} \tag{12.17} \end{align} $$

$$ \begin{align} \Phi[k(t)]&=e^{-(1-A)\bar{n}}=\exp\left\{-\mu T\left(1-\int_0^{T} e^{i\int k(t+s)g(t)dt}\frac{ds}{T}\right)\right\}\notag\\ &=\exp\left\{-\mu \int_0^{T} \left(1-e^{i\int k(t+s)g(t)dt}\right)\,ds\right\} \tag{12.19} \end{align} $$

$$ \begin{align} &\exp\left\{ i\mu\int_0^{T}\int_0^{T} k(t+s)g(t)\,dt\,ds\right\}=\exp\left\{ i\mu G\int_0^{T}k(t)dt\right\} \tag{12.20}\\ &\qquad\text{where}\quad G=\int g(t)dt\notag \end{align} $$

$$ -\frac{\mu}{2}\iint k(t)g(t+s)dt\int k(t')g(t'+s)dt'ds \tag{12.21} $$

しかし訳本では, これらの表式が以下のように修正されている!:

$$ \begin{align} \Phi[k(t)]&=\int_0^{T}\frac{dt_1}{T}\int_0^{T}\frac{dt_2}{T}\dotsb\int_0^{T}\frac{dt_n}{T} \exp\left[ i\sum_{j=1}^{n} \int dt\,k(t)g(t-t_j)\right]\notag\\ &=\left[\int_0^{T}\frac{ds}{T} e^{i\int dt\,k(t)g(t-s)}\right]^{n} \tag{12.17'} \end{align} $$

$$ \begin{align} \Phi[k(t)]&=e^{-(1-A)\bar{n}}=\exp\left[ -\mu T\left(1-\int_0^{T}\frac{ds}{T} e^{i\int dt\,k(t)g(t-s)}\right)\right]\notag\\ &=\exp\left[-\mu \int_0^{T} ds\,\left(1-e^{i\int dt\,k(t)g(t-s)}\right)\right] \tag{12.19'} \end{align} $$

$$ \begin{align} &\exp\left[ i\mu \int_0^{T}ds \int_0^{T}dt\, k(t)g(t-s)\right]=\exp\left[ i\mu G \int_0^{T}dt\,k(t)\right] \tag{12.20'}\\ &\qquad\text{where}\quad G=\int_0^{T}dt\, g(t)\notag \end{align} $$

$$ -\frac{\mu}{2}\int_0^{T}ds\int_0^{T}dt\int_0^{T}dt'\, k(t)g(t-s)k(t')g(t'-s) \tag{12.21'} $$

要するに, 原書と訳本との本質的な違いは次である:

$$ \int k(t+s)g(t)dt\quad\leftrightarrow\quad \int k(t)g(t-s)dt $$

自分としては訳本の方が適切のように思われた.なぜなら, 式(12.20)などを導出するのに原書ではうまく行かなかったからである.次回の記事でそのことを書いてみようと思っている.