ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

Kleinert の修正 part 2

問題3-11の解答をKleinertの文章をまとめることで示そうと思うが, そのkleinertの原文にタイプミスがまた在るようだったので報告しておく.


§3.1 External Sources に於ける式(3.5)の前後の文章は次となっている:

Consider a harmonic oscillator with an action $$ \mathcal{A}_{\omega}=\int_{t_a}^{t_b} dt\,\frac{M}{2}\left( \dot{x}^{2}-\omega^{2}x^{2}\right) \tag{3.1} $$ Let it be disturbed by an external source or current $j(t)$ coupled linearly to the particle coordinate $x(t)$. The source action is $$ \mathcal{A}_{j}=\int_{t_a}^{t_b} dt\,x(t)\,j(t) \tag{3.2} $$ The total action $$ \mathcal{A}=\mathcal{A}_{\omega}+\mathcal{A}_{j} \tag{3.3} $$ is still harmonic in $x$ and $\dot{x}$, which makes it easy to solve the path integral in the presence of a source term.

$\qquad\vdots$

Here $\mathcal{A}_{j,cl}$ is the action for the classical orbit $x_{j,cl}$ which minimizes the total action $\mathcal{A}$ in the presence of the source term and which obeys the equation of motion

$$ \ddot{x}_{j,cl}(t)+\omega^{2}x_{j,cl}(t)=j(t) \tag{3.5} $$

しかし, この式(3.5)は次のように修正されるべきと思われる:

\begin{equation*} \ddot{x}_{j,cl}(t)+\omega^{2}x_{j,cl}(t)=\frac{j(t)}{M} \tag{1} \end{equation*}

この運動方程式は, 式(3.1)と式(3.2)とからラグランジアンファインマンの式(3.79)と同等な

\begin{equation*} L=\frac{M}{2}\dot{x}^{2}(t)-\frac{M\omega^{2}}{2}x^{2}(t)+j(t)x(t) \tag{2} \end{equation*}

を用い, そして次のオイラーラグランジュの方程式から得られる:

\begin{equation*} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0 \tag{3} \end{equation*}

すると, 式(2)の $L$ から

\begin{equation*} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=M\dot{x},\quad \frac{\partial L}{\partial x}=-M\omega^{2} x+j(t) \end{equation*}

である.従って, 式(3)は次となる:

\begin{equation*} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x} =\frac{d}{dt}M\dot{x}-\Bigl\{-M\omega^{2}x+j(t)\Bigr\}=0 \tag{4} \end{equation*}

よって, 運動方程式は次となると思われたからである:

\begin{equation*} M\ddot{x}+M\omega^{2}x-j(t)=0\ \rightarrow\ \ddot{x}+\omega^{2}x=\frac{j(t)}{M} \tag{5} \end{equation*}

これ以前の記事では, スマホで見る場合に式の表示がはみ出してしまって式全体をキチンと表示出来ていませんでした.はてなブログの他の方の記事を参照してその改善を行いました.これ以降の記事では, スマホでも「横スライドする」ことでうまく式全体を見ることが出来ると思います.(以前の記事も順次書き直していこうと思います.)