問題 3-11 の解答例
この問題も, 前問と同様に次のサイトに解答例が示されている：
http://www2.oberlin.edu/physics/dstyer/FeynmanHibbs/Prob3-11.pdf
しかし, ここでは Hagen Kleinert の解説文をまとめることで解答して見よう．
Problem 3-11
Suppose the harmonic oscillator of Prob. 3-8 is driven by an external force $f(t)$. The lagrangian is $$ L=\frac{m}{2}\dot{x}^{2}-\frac{m\omega^{2}}{2}x^{2}+f(t)x \tag{3.65} $$ Show that the resulting kernel is ( with $T=t_b-t_a$ ) $$ K=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin \omega T}}\,e^{iS_{cl}/\hbar} $$ where
\begin{align} S_{c\,l}&=\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\bigg[(x_b^{2}+x_a^{2})\cos\omega T -2x_a x_b \notag\\ &\quad +\frac{2x_b}{m\omega}\int_{t_a}^{t_b}dt\,f(t)\sin\omega(t-t_a)+\frac{2x_a}{m\omega} \int_{t_a}^{t_b}dt\,f(t)\sin\omega(t_b-t)\notag\\ &\quad -\frac{2}{m^{2}\omega^{2}}\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t}ds\,f(t)f(s)\sin\omega(t_b-t) \sin\omega(s-t_a)\bigg] \tag{3.66} \end{align}This last result is of great importance in many advanced problems. It has particular applications in quantum electrodynamics because the electromagnetic field can be represented as a set of forced harmonic oscillators.
(解答) 以下は, H.Kleinert の § 3.1 $\sim$ § 3.2 そして§ 3.6 を翻訳したものに多少の修正を加えたものである．
外部の源 ( External Sources )
次の作用を持つ調和振動子を考える：
\begin{equation*}
S_{\omega}=\int_{t_a}^{t_b}dt\,L(\dot{x},x)
=\int_{t_a}^{t_b}dt\,\left(\frac{m}{2}\dot{x}^{2}-\frac{m\omega^{2}}{2}x^{2}\right)
\tag{1}
\end{equation*}
これが粒子座標 $x(t)$ と線形結合した外源またはカレント $j(t)$ によって擾乱されるものとしてみよう． 従って, 源の作用は $$ \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} S_j=\int_{t_a}^{t_b}dt\,j(t)x(t) \tag{2} $$ であるから, 全作用 $S=S_\omega+S_j$ は依然として $x$ と $\dot{x}$ について調和的となる：
\begin{equation*}
S=S_{\omega}+S_j=\int_{t_a}^{t_b}dt\,\left\{\frac{m}{2}\dot{x}^{2}(t)
-\frac{m\omega^{2}}{2}x^{2}(t)+j(t)x(t)\right\}
=\int_{t_a}^{t_b} dt\,L(\dot{x},x)
\tag{3}
\end{equation*}
このことは, 源の項が存在している経路積分を解くことを容易にしてくれる．特に都合がいいのは, 調和的であると「時間発展振幅は古典的振幅 $e^{iS_{cl}/\hbar}$ と変動振幅 $F(t_b,t_a)$ との積となる」という特性：
\begin{equation*}
\BK{x_b,t_b}{x_a,t_a}=F(t_b,t_a)\,e^{iS_{cl}/\hbar}
\tag{4}
\end{equation*}
を損なわないことである．ここで $S_{cl}$ は源の項が存在している場合の全作用 $S$ を最小化する古典的軌道 $\bar{x}(t)$ に対する作用であり, 次の運動方程式を満たす：
\begin{equation*}
\ddot{\bar{x}}(t)+\omega^{2}\bar{x}^{2}(t)=\frac{j(t)}{m}
\tag{5}
\end{equation*}
これは問題文の式(3.65)のラグランジアン
\begin{equation*}
L'=\frac{m}{2}\dot{x}^{2}-\frac{m\omega^{2}}{2} x^{2}+f(t) x
\tag{3.65}
\end{equation*}
に相当した式(3)中のラグランジアン $L$ に対するオイラー・ラグランジュ方程式から得られる：
\begin{align*}
&\ppdiff{L}{\dot{x}}=m\dot{x},\ \ppdiff{L}{x}=-m\omega^{2}x+j(t),\ \rightarrow\
\odiff{t}\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)-\ppdiff{L}{x}=\odiff{t}\Bigl(m\dot{x}\Bigr)-\Bigl\{-m\omega^{2}x+j(t)\Bigr\}=0,\\
&\therefore\quad \ddot{x}+\omega^{2}x =\frac{j(t)}{m}
\end{align*}
順序として, まずは源の項が存在していない場合の作用を極値化する古典的軌道$\bar{x}(t)$ を扱って見よう ( In the sequel, we shall first work with the classical orbit $\bar{x}$ extremizing the action without the source term )．
この場合, 運動方程式は式(5)で $j(t)=0$ として次となる：
\begin{equation*}
\ddot{\bar{x}}(t)+\omega^{2}\bar{x}^{2}(t)=0
\tag{5'}
\end{equation*}
この微分方程式の一般解は $x=A\sin\omega t+B\cos\omega t$ と書け, $T=t_b-t_a$ とすると境界条件から次が得られる ( 問題2-2を参照 )：
\begin{equation*}
\bar{x}(t)=\frac{x_b\sin \omega(t-t_a)+x_a\sin\omega(t_b-t)}{\sin\omega T}
\tag{6}
\end{equation*}
全ての経路は古典的経路 $\bar{x}(t)$ と変動 $y(t)$ の和として書かれる：
\begin{equation*}
x(t)=\bar{x}(t)+y(t)
\tag{7}
\end{equation*}
すると作用 $S$ は, 古典的部分 $S_{cl}$ と変動部分 $S_{fl}$ とに分離する．その各々が無カレント項とカレント項を含む：
\begin{equation*}
S=S_{\omega}+S_{j}\equiv S_{cl}+S_{fl}=\left(S_{\omega,cl}+S_{j,cl}\right)+\left(S_{\omega,fl}+S_{j,fl}\right)
\tag{8}
\end{equation*}
そして時間発展振幅は次のように表される：
\begin{equation*}
\BK{x_b,t_b}{x_a,t_a}=e^{iS_{cl}/\hbar}\int \mathscr{D}x\,\exp\left(\frac{i}{\hbar}S_{fl}\right)
=e^{i(S_{\omega,cl}+S_{j,cl})/\hbar}\int \mathscr{D}x\,\exp\left[\frac{i}{\hbar}\left(S_{\omega,fl}+S_{j,fl}\right)\right]
\tag{9}
\end{equation*}
古典的作用 $S_{cl}$ は, 調和振動子のラグランジアン $$ L_0=\frac{m}{2}\dot{x}^{2}-\frac{m\omega^{2}}{2}x^{2} $$ に対する作用であり, それは問題2-2で求められている：
\begin{align*}
S_{\omega,cl}=\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\left[\left(x_a^{2}+x_b^{2}\right)\cos\omega T-2x_a x_b\right]
\tag{10}
\end{align*}
古典的な源の作用項 $S_{j,cl}$ は式(6)から分かる：
\begin{align*}
S_{j,cl}&=\int_{t_a}^{t_b}dt\, \bar{x}(t)\,j(t)
=\int_{t_a}^{t_b}dt\,\frac{x_b\sin \omega(t-t_a)+x_a\sin\omega(t_b-t)}{\sin\omega T}\,j(t)\notag\\
&=\frac{1}{\sin\omega T}\int_{t_a}^{t_b}dt\,j(t)\,\Bigl\{ x_a\sin\omega(t_b-t)+x_b\sin\omega(t-t_a)\Bigr\}
\tag{11}
\end{align*}
次に, 「源の項が存在する場合」を考える．そのときの作用の変動部分 $S_{fl}=S_{\omega,fl}+S_{j,fl}$ を考察する．$\bar{x}(t)$ は源が無い作用を極値化するから, $y(t)$ について1次の項は $S_{fl}$ に含まれている [ 古典的作用 $S_{cl}$ には $y(t)$ の1次の項を含まない ]．部分積分を行うと, 作用の変動部分は次のように書ける [ 端点で $y(t)$ がゼロとなることを利用して ]：
\begin{align*}
S[x(t)]&=\int_{t_a}^{t_b}dt\,\left[\frac{m}{2}\dot{\bar{x}}^{2}-\frac{m\omega^{2}}{2}\bar{x}^{2}
+j(t)\bar{x}\right]+\int_{t_a}^{t_b}dt\,\left[\frac{m}{2}\left(\dot{y}^{2}+2\bar{x}\dot{y}\right)
-\frac{m\omega^{2}}{2}\left(y^{2}+2\bar{x}y\right)+j(t)y\right]\\
&=S_{cl}+\int_{t_a}^{t_b}dt\,\left(\frac{m}{2}\dot{y}^{2}-\frac{m\omega^{2}}{2}y^{2}\right)
+\int_{t_a}^{t_b}dt\,j(t)y(t)\\
&=S_{cl}+S_{fl}
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
S_{fl}&=\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b}dt\,\left(\dot{y}^{2}-\omega^{2}y^{2}\right)
+\int_{t_a}^{t_b}dt\,j(t)y(t)\\
&=\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t_b}dt'\,y(t)\,D_{\omega^{2}}(t,t')\,y(t')+\int_{t_a}^{t_b} dt\,y(t)j(t)
\tag{12}
\end{align*}
ただし $D_{\omega^{2}}(t,t')$ は次のような微分演算子である：
\begin{equation*}
D_{\omega^{2}}(t,t')=\left(-\partial_t^{2}-\omega^{2}\right)\,\delta(t-t')
=\delta(t-t')\left(-\partial_{t'}^{2}-\omega^{2}\right),\quad t,t'\in (t_a,t_b)
\tag{13}
\end{equation*}
これは $t_a$ と $t_b$ でゼロになる $t$-従属する関数空間に於ける「汎関数行列」( functional matrix ) と見做すことが出来よう．二つの表現が等価であることは以下のようにして確かめられる．
部分積分により, 端点でゼロとなる任意の $f(t)$ と $g(t)$ に対して (または積分区間で周期的な関数に対して) 次が言える：
\begin{align*}
\int_{t_a}^{t_b}dt\,f(t)\,\partial_t^{2}g(t)&\equiv\,\int_{t_a}^{t_b}dt\,f(t)\,\frac{d^{2}}{dt^{2}}g(t)
=\underbrace{\left[f(t)\frac{dg(t)}{dt}\right]_{t_a}^{t_b}}_{=0} -\int_{t_a}^{t_b}dt\,\frac{df(t)}{dt}\,\frac{dg(t)}{dt}\\
&=\underbrace{-\left[\frac{df(t)}{dt}g(t)\right]_{t_a}^{t_b}}_{=0} +\int_{t_a}^{t_b}dt\,\frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}}g(t)\\
&=\int_{t_a}^{t_b}dt\,\frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}}g(t)\equiv\int_{t_a}^{t_b}dt\,\partial_t^{2}f(t)\,g(t)
\tag{14}
\end{align*}
この左辺と右辺の各々を次のように表現して見る：
\begin{align*}
&\int_{t_a}^{t_b}dt\,f(t)\,\partial_t^{2}g(t)=\int_{t_a}^{t_b}dt\,\int dt'\,f(t)\partial_t^{2}g(t)
\,\delta(t-t')\tag{15}\\
&\int_{t_a}^{t_b}dt\,\partial_t^{2}f(t)\,g(t)=\int_{t_a}^{t_b}dt\,\int dt'\,\partial_t^{2}f(t)
\,\delta(t-t')\,g(t')=\int dt\int dt'\,f(t)\partial_t^{2}(t-t')\,g(t)
\tag{16}
\end{align*}
ただし, 式(16)の右辺の最後は更に部分積分を行っている．また, 次式が言えることは明らかである：
\begin{equation*}
\int_{t_a}^{t_b}dt\,f(t)\,\omega^{2}\,g(t)=\int_{t_a}^{t_b} dt\int_{t_a}^{t_b} dt'\,f(t)\omega^{2}\,\delta(t-t')\,g(t)
\tag{17}
\end{equation*}
式(16)と式(17)の両辺を足し合わしたものに $-1$ を掛け合わすならば,
\begin{align*}
&\int_{t_a}^{t_b}dt\,f(t)\,\left(\partial_t^{2}+\omega^{2}\right)\,g(t)=
\int_{t_a}^{t_b} dt\int_{t_a}^{t_b} dt'\,f(t)\left(\partial_t^{2}+\omega^{2}\right)\,\delta(t-t')\,g(t)\\
\rightarrow&\quad
\int_{t_a}^{t_b}dt\,f(t)\,\left(-\partial_t^{2}-\omega^{2}\right)\,g(t)=
\int_{t_a}^{t_b} dt\int_{t_a}^{t_b} dt'\,f(t)\left(-\partial_t^{2}-\omega^{2}\right)\,\delta(t-t')\,g(t)
\tag{18}
\end{align*}
また次が言える：
\begin{equation*}
\int_{t_a}^{t_b} \dot{y}^{2}(t)\,dt=\int_{t_a}^{t_b} \dot{y}(t)\dot{y}(t)\,dt
=\underbrace{\dot{y}(t)y(t)\bigg|_{t_a}^{t_b}}_{=0}-\int_{t_a}^{t_b}\ddot{y}(t)y(t)\,dt=-\int_{t_a}^{t_b} \ddot{y}(t)y(t)\,dt
\tag{19}
\end{equation*}
以上の式(19)と式(18)に於いて $f(t)=g(t)=y(t)$ とすれば, 式(12)の左辺第1項目は右辺第1項目となることが示せる：
\begin{align*}
\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b}dt\,\left(\dot{y}^{2}-\omega^{2}y^{2}\right)
&=\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b}dt\,\left(-\ddot{y}y-\omega^{2}y^{2}\right)
=\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b}dt\,y(t)\left(-\frac{d^{2}}{dt^{2}}-\omega^{2}\right)y(t)\\
&=\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b} dt\int_{t_a}^{t_b} dt'\,y(t)\left(-\partial_t^{2}-\omega^{2}\right)\,\delta(t-t')\,y(t)\\
&=\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b} dt\int_{t_a}^{t_b} dt'\,y(t)\,D_{\omega^{2}}(t,t')\,y(t)
\tag{20}
\end{align*}
汎関数行列(13)の逆 $D_{\omega}^{-1}(t,t')$ の形式的な定義は, 次の関係式によってなされる ( formally defined )：
\begin{equation*}
\int_{t_a}^{t_b}dt'\,D_{\omega^{2}}(t^{''},t')\,D_{\omega^{2}}^{-1}(t',t)
=\delta(t^{''}-t),\quad t^{''},t\in (t_a,t_b)
\tag{21}
\end{equation*}
これは $D_{\omega}^{-1}(t,t')$ が「振動数 $\omega$ の調和振動子の標準的な古典的グリーン関数であること」を示している：
\begin{equation*}
G_{\omega^{2}}(t,t')\equiv D_{\omega^{2}}^{-1}(t,t')=\frac{1}{\left(-\partial_t^{2}-\omega^{2}
\right)}\delta(t-t'),\quad t,t'\in (t_a,t_b)
\tag{22}
\end{equation*}
従って,
\begin{equation*}
\int_{t_a}^{t_b}dt'\,D_{\omega^{2}}(t^{''},t')\,G_{\omega^{2}}(t,t')=\delta(t^{''}-t),
\quad t^{''},t\in (t_a,t_b)
\tag{23}
\end{equation*}
この定義は唯一ではない．なぜなら斉次方程式
\begin{equation*}
\int_{t_a}^{t_b}dt'\,D_{\omega^{2}}(t^{''},t')\,H(t',t)=0
\tag{24}
\end{equation*}
の任意の解 $H(t,t')$ を付加する余地が残っているからである．この自由度は, 以下に述べるような適切な境界条件を課すことで取り除くこと が出来る．
ここで, 式(12)の変動する作用部分 $S_{cl}$ に於いて, $y(t)$ を次式のように平行移動したものを考えることで「平方完成」 ( quadratic completion ) を行う：
\begin{equation*}
\tilde{y}(t)\equiv y(t)+\frac{1}{m}\int_{t_a}^{t_b}dt'\,G_{\omega^{2}}(t,t')\,j(t')
\tag{25}
\end{equation*}
すると, 作用 $S_{fl}$ は $\tilde{y}$ と $j$ の両者について２次の形となる ( Then the action becomes quadratic in both $\tilde{y}$ and $j$ )：
\begin{equation*}
S_{fl}=\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t_b}dt'\,\left[\frac{m}{2}\tilde{y}(t)D_{\omega^{2}}(t,t')\tilde{y}(t')
-\frac{1}{2m}j(t)G_{\omega^{2}}(t,t')j(t')\right]
\tag{26}
\end{equation*}
なぜなら, 式(25)を式(12)に代入すると, 式(23)を利用して以下のようになるからである：
\begin{align*}
S_{fl}&=\frac{m}{2}\int dt\int dt'\,y(t)D_{\omega^{2}}(t,t')y(t')+\int dt\,y(t)j(t)\\
&=\frac{m}{2}\int dt\int dt'\left(\tilde{y}(t)-\frac{1}{m}\int ds\,G_{\omega^{2}}(t,s)j(s)
\right)D_{\omega^{2}}(t,t')\left(\tilde{y}(t')-\frac{1}{m}\int dr\,G_{\omega^{2}}(t',r)j(r)\right)
\notag\\
&\quad+\int dt\,\left(\tilde{y}(t)-\frac{1}{m}\int dt'\,G_{\omega^{2}}(t,t')j(t')\right)j(t)\\
&=\frac{m}{2}\left[\int dt\int dt'\,\tilde{y}(t)D_{\omega^{2}}(t,t')\tilde{y}(t')
-\frac{1}{m}\int dt\int dt'\int ds\,G_{\omega^{2}}(t,s)j(s)D_{\omega^{2}}(t,t')\tilde{y}(t')\right.\\
&\quad\left.-\frac{1}{m}\int dt\int dt'\int dr\,\tilde{y}(t)D_{\omega^{2}}(t,t')G_{\omega^{2}}(t',r)j(r)
+\frac{1}{m^{2}}\int dt\int dt'\int ds\int dr\,G_{\omega^{2}}(t,s)j(s)D_{\omega^{2}}(t,t')G_{\omega^{2}}(t',r)
j(r)\right]\\
&\quad+\int dt\,\left(\tilde{y}(t)-\frac{1}{m}\int dt'\,G_{\omega^{2}}(t,t')j(t')\right)j(t)\\
&=\frac{m}{2}\int dt\int dt'\,\tilde{y}(t)D_{\omega^{2}}(t,t')\tilde{y}(t')-\frac{1}{2}\int ds\int dt'
\delta(s-t')j(s)\tilde{y}(t')-\frac{1}{2}\int dt\int dr\,\delta(t-r)\tilde{y}(t)j(r)\\
&\quad+\frac{1}{2m}\int dt\int ds\int dr\,G_{\omega^{2}}(t,s)j(s)\delta(t-r)j(r)
+\int dt\,\tilde{y}(t)j(t)-\frac{1}{m}\int dt\int dt'\,G_{\omega^{2}}(t,t')j(t')j(t)\\
&=\frac{m}{2}\int dt\int dt'\,\tilde{y}(t)D_{\omega^{2}}(t,t')\tilde{y}(t')
-\int dt\,j(t)\tilde{y}(t)+\frac{1}{2m}\int ds\int dr\,G_{\omega^{2}}(r,s)j(s)j(r)
+\int dt\,\tilde{y}(t)j(t)\\
&\quad -\frac{1}{m}\int dt\int dt'\,G_{\omega^{2}}(t,t')j(t')j(t)\\
&=\frac{m}{2}\int dt\int dt'\,\tilde{y}(t)D_{\omega^{2}}(t,t')\tilde{y}(t')
-\frac{1}{2m}\int dt\int dt'\,j(t)G_{\omega^{2}}(t,t')j(t')
\tag{27}
\end{align*}
式(26)のグリーン関数 $G_{\omega^{2}}(t,t')$ は変動 $y(t)$ と同じ境界条件に従う：
\begin{equation*}
G_{\omega^{2}}(t,t')=0\quad\text{for}\quad
\begin{cases}t=t_b, & t'\ \text{arbitrary}, \\
t\ \text{arbitrary}, & t'=t_a\ .
\end{cases}
\tag{28}
\end{equation*}
従って, 式(25)のシフトされた変動 $\tilde{y}(t)$ は端点でやはりゼロとなり, 元の $y(t)$ と同じ汎関数空間に広がっている．式(25)の単純なシフトによる経路積分 $\displaystyle{\int \mathscr{D}y(t)}$ の測度 ( measure ) の変化がないことは明らかである．従って作用 $S_{fl}$ が式(26)である場合の経路積分 $\displaystyle{\int \mathscr{D}\tilde{y}(t)}\exp\left(\frac{i}{\hbar}S_{fl}\right)$では, $S_{fl}$ の第1項から調和振動子の変動因子$F_{\omega}(t_b-t_a)$ が与えられる：
\begin{equation*}
F_\omega(t_b-t_a)=\sqrt{\frac{\ds{m\omega}}{\ds{2\pi i\hbar\sin\omega(t_b-t_a)}}}
\tag{29}
\end{equation*}
式(26)の源部分(source part) が寄与するのは, 次の自明な指数因子だけ ( only a trivial exponential factor ) である：
\begin{equation*}
F_{j,fl}=\exp\left(\frac{i}{\hbar}S_{j,fl}\right),
\tag{30}
\end{equation*}
この指数部は $j(t)$ について2次である：
\begin{equation*}
S_{j,fl}=-\frac{1}{2m}\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t_b}dt'\,j(t)G_{\omega^{2}}(t,t')j(t')
\tag{31}
\end{equation*}
従って, 源の項 ( source term ) が存在する場合の全時間発展振幅は, 次のような積の形として書き表すことが出来る：
\begin{equation*}
\BK{x_b,t_b}{x_a,t_a}_{\omega}^{j}=\BK{x_b,t_b}{x_a,t_a}_{\omega}F_{j,cl}F_{j,fl},
\tag{32}
\end{equation*}
ただし $\BK{x_b,t_b}{x_a,t_a}_{\omega}$ は源のない場合の時間発展振幅であり, $T=t_b-t_a$ として次である：
\begin{align*}
\BK{x_b,t_b}{x_a,t_a}_{\omega}&=F_{\omega}(t_b-t_a)\,e^{iS_{\omega,cl}/\hbar}\\
&=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin\omega T}}\exp\left\{\frac{im\omega}{2\hbar\sin\omega T}
\biggl[\left(x_b^{2}+x_a^{2}\right)\cos\omega T-2x_b x_a\biggr]\right\}
\tag{33}
\end{align*}
そして $F_{j,cl}$ は式(11)の古典的作用を含む振幅である：
\begin{equation*}
F_{j,cl}=e^{iS_{j,cl}/\hbar}
=\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\frac{1}{\sin\omega T}\int_{t_a}^{t_b} dt\,\Bigl[x_a\sin\omega(t_b-t)+x_b
\sin\omega(t-t_a)\Bigr]\,j(t)\right\}
\tag{34}
\end{equation*}
結論を完結するには $F_{j,fl}$ 即ち式(31)の $S_{j,fl}$ 中に在るグリーン関数 $G_{\omega^{2}}(t,t')$ を明示的に知る必要がある．それは次の節で計算しよう．
調和振動子のグリーン関数 ( Green Function of Harmonic Oscillator )
式(22)によると, 式(31)中のグリーン関数は2次のオーダーの微分演算子 $-\partial_t^{2}-\omega^{2}$ の逆元を求めることで得ることができる：
\begin{equation*}
G_{\omega^{2}}(t,t')=\frac{\delta(t-t')}{-\partial_t^{2}-\omega^{2}},\quad
t,t'\in (t_a,t_b)
\tag{35}
\end{equation*}
上述したように,「この関数は演算子 $-\partial_t^{2}-\omega^{2}$ に伴う斉次微分方程式の解としてのみ定義される」．この曖昧さを除去する境界条件は変動 $y(t)$ に対するものと同じである．即ち, 「 $t$ か $t'$ またはその両者が端点 $t_a$ または $t_b$ に一致する(hit) とゼロとなる 」ことである ( Dirichletの境界条件 )．「グリーン関数は $t$ と $t'$ に於いて対称的である」．
Wronski Construction
最も簡単な方法は「Wronski construction」と呼ばれるものから生じる ( proceed )．それは以下のことに注目することに基づいている．時間引数が異なる場合, すなわち $t>t'$ または $t<t'$ の場合, グリーン関数 $G_{\Omega^{2}}(t,t')$ は次の斉次微分方程式の解である必要がある ( $t$ と $t'$に於いて対称的であることを利用して)：
\begin{equation*}
\left(-\partial_t^{2}-\omega^{2}\right)G_{\Omega^{2}}(t,t')=0,\quad
\left(-\partial_{t'}^{2}-\omega^{2}\right)G_{\Omega^{2}}(t,t')=0
\tag{36}
\end{equation*}
ただし $\Omega$ は時間依存する一般的な振動数とする．この微分方程式の解は従って $t'$ 及び $t$ についての斉次方程式の独立な2つの解の線形結合であるべきである．そして各々の端点でゼロとなるという「Dirichlet境界条件」を満たさなければならない．
一定な振動数の場合
もし $\Omega^{2}\equiv \omega^{2}$ ならばこのことは、$t>t'$ の場合では, $G_{\omega^{2}}(t,t')$ が $\sin\omega(t_b-t)$ 及び $\sin\omega(t'-t_a)$ に比例するべきであることを含蓄する．
前に書いたブログ記事「グリーン関数について part3 」の結果を利用して, この場合のグリーン関数 $G_{\omega^{2}}(t,t')$ を求めよう．上述のことから, 前ブログの式(19)の $u(x)$ と $v(x)$ に相当するのは次であるとしてよい：
\begin{align*}
u(t)&=\sin\omega(t-t_a)\quad\rightarrow\quad u'(t)=\omega\cos\omega(t-t_a),\\
v(t)&=\sin\omega(t_b-t)\quad\rightarrow\quad v'(t)=-\omega\cos\omega(t_b-t).
\tag{37}
\end{align*}
すると前ブログの式(23)のロンスキアンは $p(t)=1$ として
\begin{equation*}
u(t)v'(t)-v(t)u'(t)=A
\end{equation*}
となるから, この場合の $A$ が求められる：
\begin{align*}
A&=u(t)v'(t)-v(t)u'(t)\\
&=-\omega\sin\omega(t-t_a)\cos\omega(t_b-t)-\omega\sin\omega(t_b-t)\cos\omega(t-t_a)\\
&=-\omega\sin\omega(t-t_a+t_b-t)
=-\omega\sin\omega(t_b-t_a)
\tag{38}
\end{align*}
従って, 前ブログの式(25)から, この場合のグリーン関数 $G_{\omega^{2}}(t,t')$ は次となる：
まず $t_a \le t <t' \le t_b$ の場合は,
\begin{equation*}
G_1(t,t')=-\frac{1}{A}u(t)v(t')=\frac{\sin\omega(t_b-t)\sin\omega(t'-t_a)}{\omega\sin(t_b-t_a)},\quad
t_a \le t < t' \le t_b
\tag{39}
\end{equation*}
また $t_a \le t' < t \le t_b$ の場合には,
\begin{equation*}
G_2(t,t')=-\frac{1}{A}u(t')v(t)=\frac{\sin\omega(t-t_a)\sin\omega(t_b-t')}{\omega\sin(t_b-t_a)},\quad
t_a \le t' < t \le t_b
\tag{40}
\end{equation*}
これは, 次のような一つの表現として書き表すことが出来る：
\begin{equation*}
G_{\omega^{2}}(t,t')=\frac{\sin\omega(t_b-t_{>})\sin\omega(t_{<}-t_a)}{\omega\sin(t_b-t_a)}
\tag{41}
\end{equation*}
ただし「記号 $t_{>}$ と$t_{<}$ は, 時間 $t$ と $t'$ の大きい方と小さい方を表している」．
源項が存在する場合の時間発展振幅 ( Time Evolution Amplitude in Presence of Source Term )
グリーン関数 $G_{\omega^{2}}(t,t')$ が与えられると, 時間発展振幅に対する明示的な表現を書き下すことが出来る．変動因子に対する源の2次の寄与である式(31)の明示的な式は次となる ( is given explicitly by )：
\begin{align*}
S_{j,fl}&=-\frac{1}{2m}\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t_b}dt'\,j(t)\,G_{\omega^{2}}(t,t')j(t')\\
&=-\frac{1}{2m}\left\{\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t}dt'\,G_{\omega^{2}}(t,t')j(t)j(t')
+\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t}^{t_b}dt'\,G_{\omega^{2}}(t,t')j(t)j(t')\right\}\\
&=-\frac{1}{2m}\left\{\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t}dt'\,G_2(t,t')j(t)j(t')
+\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t}^{t_b}dt'\,G_1(t,t')j(t)j(t')\right\}
\tag{42}
\end{align*}
ここで「重積分の順序変更の公式」を利用する．すなわち領域 $D$ が $D=\{(x,y)| a\le x \le b,\phi_1(x)\le y\le \phi_2(x)\}$ であるときに, その領域 $D$ が $[c,d]$ 上の連続関数$\psi_1(y)$, $\psi_2(y)$ を用いて, $D=\{(x,y)| c\le y \le d,\,\psi_1(y)\le x \le \psi_2(y)\}$ とも表せるときには, 次の式が成り立つ：
\begin{equation*}
\int_a^{b} dx \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}dy\,f(x,y)
=\int_{c}^{d}dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}dx\,f(x,y)
\end{equation*}
この公式を用いた後さらに $t\leftrightarrow t'$ の書き換えを行う．( 校訂版の巻末付録の公式 (A.12) を参照のこと )．
式(40)の定義式も用いると, 式(42)の2番目の積分項は, 式(42)の最初の積分項に一致することが分かる：
\begin{align*}
&\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t}^{t_b}dt'\,G_1(t,t')j(t)j(t')=\int_{t_a}^{t_b}dt'\int_{t_a}^{t'}dt\,G_1(t,t')j(t)j(t')\\
&=\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t}dt'\,G_1(t',t)j(t')j(t)
=\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t}dt'\,G_2(t,t')j(t)j(t')
\end{align*}
よって, 式(42)は次のように書ける：
\begin{align*}
S_{j,fl}&=-\frac{1}{2m}\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t_b}dt'\,G_{\omega^{2}}(t,t')j(t)j(t')\\
&=-\frac{1}{2m}\left\{\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t}dt'\,G_2(t,t')j(t)j(t')
+\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t}^{t_b}dt'\,G_1(t,t')j(t)j(t')\right\}\\
&=-\frac{1}{m}\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t}dt'\,G_2(t,t')j(t)j(t')\\
&=-\frac{1}{m}\frac{1}{\omega\sin\omega(t_b-t_a)}\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t}dt'
\sin\omega(t_b-t)\sin\omega(t'-t_a)j(t)j(t')
\tag{43}
\end{align*}
以上を一緒にすると, 外源 $j(t)$ が存在する場合の経路積分は次となる：
\begin{equation*}
\BK{x_b,t_b}{x_a,t_a}_{\omega}^{j}=\int\mathscr{D}x(t)\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\int_{t_a}^{t_b}dt\left[\frac{m}{2}
\left(\dot{x}^{2}-\omega^{2}x^{2}\right)+j(t)x(t)\right]\right\}=F_{\omega,j}(t_b,t_a)\,e^{iS_{j,cl}/\hbar}
\tag{44}
\end{equation*}
ただし $T=t_b-t_a$ とすると, 古典的作用の全体は,
\begin{align*}
&S_{j, cl}=S_{\omega,cl}+S_{j,cl}\\
&=\frac{1}{2}\frac{m\omega}{\sin\omega T}\Bigl[\left(x_b^{2}+x_a^{2}\right)\cos\omega T-2x_b x_a\Bigr]
+\frac{1}{\sin\omega T}\int_{t_a}^{t_b}dt\Bigl[x_a\sin\omega(t_b-t)+x_b\sin\omega(t-t_a)\Bigr]\,j(t)
\tag{45}
\end{align*}
すなわち,
\begin{equation*}
S_{\omega,cl}=\frac{1}{2}\frac{m\omega}{\sin\omega T}\Bigl[\left(x_b^{2}+x_a^{2}\right)\cos\omega T-2x_b x_a\Bigr]
\tag{46}
\end{equation*}
そして,
\begin{equation*}
S_{j,cl}=\frac{1}{\sin\omega T}\int_{t_a}^{t_b}dt\Bigl[x_a\sin\omega(t_b-t)+x_b\sin\omega(t-t_a)\Bigr]\,j(t)
\tag{47}
\end{equation*}
さらに, 式(44)中の因子 $F_{\omega, j}(t_b,t_a)$ 即ち式(29)とカレント項 $e^{iS_{j,fl}/\hbar}$ からの寄与とから成る変動因子は次となる：
\begin{align*}
&F_{\omega,j}(t_b,t_a)=F_{\omega}(t_b,t_a)\,e^{iS_{j,fl}/\hbar}\notag\\
&\quad=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin\omega T}}
\exp\left\{\frac{-i}{\hbar m\omega\sin\omega T}\int_{t_a}^{t_b}dt
\int_{t_a}^{t}dt'\,\sin\omega(t_b-t)\sin\omega(t'-t_a)j(t)j(t')\right\}
\tag{48}
\end{align*}
問題3-11への解答
以上の結果を元に 問題3-11 への解答を示しておこう．それには, 以上の結果式に於ける源項を $j(t)\to f(t)$ に書き換える必要がある．
式(32), 式(33), 式(34) そして式(29), 式(30)から, 外源が存在する場合の全時間発展振幅すなわち核は次となる：
\begin{align*}
\BK{x_b,t_b}{x_a,t_a}_\omega^{j}&=\BK{x_b,t_b}{x_a,t_a}_\omega F_{j,cl}F_{j,fl}\\
&=F_\omega(t_b-t_a)\,e^{iS_{\omega,cl}/\hbar}\,e^{iS_{j,cl}/\hbar}\,e^{iS_{j,fl}/\hbar}\\
&=\left(\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin\omega T}\right)^{1/2}
\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\left(S_{\omega,cl}+S_{j,cl}+S_{j,fl}\right)\right\}\\
&\equiv \sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin\omega T}}\ e^{iS_{cl}/\hbar}
\tag{49}
\end{align*}
ただし, 指数部を次としている：
\begin{equation*}
\frac{i}{\hbar}\,S_{cl}\equiv \frac{i}{\hbar}\,\Bigl\{ S_{\omega,cl}+S_{j,cl}+S_{j,fl} \Bigr\}
\tag{50}
\end{equation*}
この中の $S_{cl}$ は, 式(10), 式(11)そして式(42)から次である：
\begin{align*}
S_{cl}&=\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\left[\left(x_a^{2}+x_b^{2}\right)\cos\omega T-2x_a x_b\right]\\
&\quad+\frac{1}{\sin\omega T}\int_{t_a}^{t_b}dt\,j(t)\,\Bigl\{ x_a\sin\omega(t_b-t)+x_b\sin\omega(t-t_a)\Bigr\}\\
&\quad-\frac{1}{m}\frac{1}{\omega\sin\omega(t_b-t_a)}\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t}dt'
\sin\omega(t_b-t)\sin\omega(t'-t_a)j(t)j(t')\\
&=\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\left[\left(x_a^{2}+x_b^{2}\right)\cos\omega T-2x_a x_b
+\frac{2}{m\omega}\int_{t_a}^{t_b}dt\,f(t)\,\Bigl\{ x_a\sin\omega(t_b-t)+x_b\sin\omega(t-t_a)\Bigr\}\right.\\
&\quad\left.-\frac{2}{m^{2}\omega^{2}}\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t}ds\,f(t)f(s)\sin\omega(t_b-t)
\sin\omega(s-t_a)\right]
\tag{51}
\end{align*}
これら式(49)と式(51)とは, 問題文に示されている核 $K$ 及び式(3.66)の $S_{cl}$ に一致している!．
