問題 4-6 の解答例
Problem 4-6
Show that $K(2,1) \rightarrow \delta(x_2-x_1)$ as $t_2\to t_1+0$.
$ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} $ (解答) 本文の式(4-2) は, 時刻 $t_2$ に於ける波動関数 $\psi(x_2,t_2)$ が時刻 $t_1$ の波動関数 $\psi(x_1,t_1)$ によって表されることを示しているのであった：
\begin{equation}
\psi(x_2,t_2)=\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\,K(2,1)\,\psi(x_1,t_1)
\tag{4.2}
\end{equation}
このとき, 時刻 $t_2$ が $t_1$ から短い時間間隔 $\varepsilon$ だけ後である, すなわち $t_2=t_1+\varepsilon$ と表されるとすると, 核は式 (2-34) と同じ近似を用いて表わすことができ, 次の核 $K(2,1)$ 及び式 (4-3) に相当する式が得られる：
\begin{align}
K(2,1)&=\frac{1}{A}\exp\left[i\frac{\varepsilon}{\hbar}L\left(\frac{x_2-x_1}{\varepsilon},\frac{x_1+x_2}{2},t+\frac{\varepsilon}{2}\right)\right]
\tag{1}\\
\psi(x_2,t_1+\varepsilon)&=\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\,\frac{1}{A}\exp\left[i\frac{\varepsilon}{\hbar}L\left(\frac{x_2-x_1}{\varepsilon},\frac{x_1+x_2}{2},t+\frac{\varepsilon}{2}\right)\right]\,\psi(x_1,t_1)
\tag{2}
\end{align}
また 1次元の場合では式 (4-4) に相当する次式が言える：
\begin{equation}
\psi(x_2,t_1+\varepsilon)=\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\,\frac{1}{A}\exp\left[\frac{i}{\hbar}\frac{m(x_2-x_1)^{2}}{2\varepsilon}\right]
\cdot\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\varepsilon\,V\left(\frac{x_1+x_2}{2},t+\frac{\varepsilon}{2}\right)\right]\,\psi(x_1,t)
\tag{3}
\end{equation}
上式で $\varepsilon\to0$ の場合, $x_1$ が $x_2$ からかなり大きく違ってくると最初の指数因子$\exp[(i/\hbar)m(x_2-x_1)^{2}/2\varepsilon]$ は $x_1$ の変動に対して非常に急激に振動する．その結果, $x_1$ についての積分全体は非常に小さくなってしまう．従って, 上式の積分に寄与する主要な場合は $x_1$ が $x_2$ に近いときに限られる．そこで $x_1=x_2+y$ と置くと, $y$ が小さいところだけが積分の主要な寄与を与える．またその場合, 2番目の因子は次のように近似することが出来るから $1$ と見做すことが出来る：
\begin{equation}
\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\varepsilon\,V\left(\frac{x_1+x_2}{2},t_1+\frac{\varepsilon}{2}\right)\right]
\simeq \exp\left[-\frac{i\varepsilon}{\hbar}V\left(x_2+\frac{y}{2},t_1\right)\right]
\approx 1-\frac{i\varepsilon}{\hbar}V(x_2,t_1)\to 1
\tag{4}
\end{equation}
そこで, この場合に於ける $K(2,1)$ と, その $x_1$ についての積分は近似的に次になるとして良いであろう ( $dx_1=dy$ に注意する)：
\begin{align}
K(2,1)&=\frac{1}{A}\exp\left(\frac{i m}{2\hbar\varepsilon}\right)
\exp\left[-\frac{i\varepsilon}{\hbar}V\left(x_2+\frac{y}{2},t\right)\right], \tag{5}\\
I&=\int_{-\infty}^{\infty} K(2,1)\,dx_1\notag\\
&=\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\,\frac{1}{A}\exp\left[\frac{i}{\hbar}\frac{m(x_2-x_1)^{2}}{2\varepsilon}\right]
\cdot\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\varepsilon\,V\left(\frac{x_1+x_2}{2},t+\frac{\varepsilon}{2}\right)\right]\notag\\
&\simeq \int_{-\infty}^{\infty} dy\,\frac{1}{A}\exp\left[\frac{i m}{2\hbar\varepsilon}y^{2}\right]
=\frac{1}{A}\int_{-\infty}^{\infty} dy\,\exp\left[\frac{i m}{2\hbar\varepsilon}y^{2}\right]
\tag{6}
\end{align}
上式に式(4.8) の結果の $A$, そして Feynman & Hibbs 巻末の「役に立つ定積分」にある次の公式
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^{2}}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}
\tag{7}
\end{equation}
を利用すると, 積分 $I$ は $1$ となることが分かる：
\begin{equation}
I=\int_{-\infty}^{\infty} K(2,1)\,dx_1=\sqrt{\frac{2\pi i\hbar\varepsilon}{m}}\int_{-\infty}^{\infty} dy\,\exp\left[\frac{i m}{2\hbar\varepsilon}y^{2}\right] = 1
\tag{8}
\end{equation}
また, 上記の青色部分のことから, この場合の核 $K(2,1)$ は $x_1\cong x_2$ 以外はゼロと見做す近似が許されるであろう：
\begin{equation}
K(2,1)=0 \quad\text{when}\quad x_1\ncong x_2
\tag{9}
\end{equation}
さらに, $\varepsilon\to 0$ のときには $x_1\simeq x_2$ すなわち $y=x_1-x_2\to 0$ の場合だけが積分に寄与し, その結果として式(3)は式 (4-5) に相当する式となると言える．よって,
\begin{align}
\psi(x_2,t_1+\varepsilon)&=\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\,K(2,1)\,\psi(x_1,t_1)\notag\\
\rightarrow\ \psi(x_2,t_1)&=\int_{-\infty}^{\infty} dy\,\frac{1}{A}\exp\left[\frac{i m}{2\hbar\varepsilon}y^{2}\right]
\exp\left[-\frac{i\varepsilon}{\hbar}V\left(x_2+\frac{y}{2},t_1\right)\right]\,\psi(x_2+y,t_1)\notag\\
&\equiv \int_{-\infty}^{\infty} K(y)\,\psi(y)\,dy
\tag{10}
\end{align}
このとき, $y\to -y$ としても同様な結果式となることは明らかである．よって,
\begin{equation}
\psi(x_2,t)=\int_{-\infty}^{\infty} K(x_2-x_1)\psi(x_1,t)\,dx_1
\tag{11}
\end{equation}
以上の結果を前のブログ記事 :「Diracの $\delta$ 関数」の式と比較すると, 式(8)と式(9)はブログ記事の式(2)に相当していること, 及び式(11)はブログ記事の式(4)に相当していると言って良いであろう：
\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty} K(2,1)\,dx_1=1\quad &\rightarrow\quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\,dx=1,\\
K(2,1)=0 \quad\text{when}\quad x_1\ncong x_2 \quad &\rightarrow\quad \delta(x)=0\quad \text{when}\ x\ne 0,\\
\psi(x_2,t)=\int_{-\infty}^{\infty} K(x_2-x_1)\,\psi(x_1,t)\,dx_1 \quad &\rightarrow\quad
f(a)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-a)f(x)\,dx.
\end{align*}
従って, $\varepsilon\to 0$ のとき, 核 $K(2,1)$ はディラックのデルタ関数 $\delta(x_1-x_2)=\delta(x_2-x_1)$に近似されると言ってよいであろう：
\begin{equation}
K(2,1)\to \delta(x_2-x_1)\quad \text{when}\quad \varepsilon=t_2-t_1 \to 0
\tag{12}
\end{equation}
(別解) 本文の経路積分の事柄を用いない解答例も示しておこう．( 前に書いたブログ記事：「プロパゲーターと経路積分」を参照のこと )．
J.J.Sakurai §2.5 の「波動力学でのプロパゲーター」によれば,
ファインマンの処方箋によって作られた核 $K=\BK{x,t}{x',t'}$ はシュレディンガーの波動方程式に於けるプロパゲーターと同じである．
従って1次元で考えるならば,
\begin{equation}
K(2,1)=\BraKet{x_2}{\mathscr{U}(t_2,t_1)}{x_1}.
\tag{13}
\end{equation}
ただし $\mathscr{U}(t_2,t_1)$ は時間発展演算子である．さらに話を簡単にして「ハミルトニアン $H$ が時間依存しない場合」で考える．ある観測量 $A$ がハミルトニアン $H$ と交換可能でその固有値を $a_i$ その固有のケットを $\ket{a_{i}}$ とすると, このときのプロパゲーター $K(2,1)$ は次に書ける：
\begin{align}
K(2,1)&=\BraKet{x_2}{\mathscr{U}(t_2,t_1)}{x_1}=\BraKet{x_2}{\exp[-i H (t_2-t_1)/\hbar]}{x_1}\notag\\
&=\sum_{a_{i}}\BK{x_{2}}{a_{i}}\BK{a_{i}}{x_{1}}\exp\left[\frac{-i E_{a_{i}}(t_{2}-t_{1})}{\hbar}\right]
\tag{14}
\end{align}
このとき $t_2\to t_1+0$ の極限を考えると指数関数部分は $1$ に向かう．従って核 $K(2,1)$ は, ケット集合 $\{\ket{a_{i}}\}$ の「完全性」：
\begin{equation}
\sum_{a_{i}}\ket{a_{i}}\bra{a_{i}}=1
\tag{15}
\end{equation}
を用いることで, ちょうど $\BK{x_2}{x_1}$ に向かうことが分かる：
\begin{equation}
K(2,1)\xrightarrow{\ (t_2\to t_1)\ }\ \sum_{a_{i}}\BK{x_{2}}{a_{i}}\BK{a_{i}}{x_{1}}
=\bra{x_{2}}\Bigl(\sum_{a_{i}}\ket{a_{i}}\bra{a_{i}}\Bigr)\ket{x_{1}}=\BK{x_2}{x_1}
\tag{16}
\end{equation}
よって, 位置ケット $\ket{x}$ の「規格直交性」から次が言える：
\begin{equation}
\lim_{t_2\to t_1} K(2,1)=\BK{x_2}{x_1}=\delta(x_2-x_1)
\tag{17}
\end{equation}
また, J.J.Sakurai §2.5 の「遷移振幅としてのプロパゲーター」には次のようにも書かれている：
プロパゲーター $K(2,1)$ は時刻$t_1$に正確に位置 $x_1$ に局在していた粒子の, 時刻 $t_2$ での波動関数である．
従って,「デルタ関数 $\delta(x_2-x_1)$ は Schrödinger 方程式を満たす」ことになる．このことは, 例えば, ディラックの§32 にも次のように書かれている：
式(49)は変換関数 $\langle \xi_{t}^{'}|\xi^{''}\rangle$ がシュレディンガーの波動方程式を満足することを示している．ところで$\xi_{t_0}=\xi$ なのであるから,$$\bra{\xi_{t_0^{'}}}\xi^{''}\rangle=\delta(\xi_{t_0}^{'}-\xi^{''})\tag{50}$$ でなければならない．ただしこの $\delta$ 関数は $\xi$ と呼んだ幾つかの変数の各々につき1つずつの $\delta$ 関数を掛け合わせた積を意味する．$\dotsb$ このように,変換関数 $\langle \xi_{t}^{'}|\xi^{''}\rangle$ はシュレディンガー方程式の解であって, $\xi$ が初期時刻 $t_0$ で確実に $\xi^{''}$ という値を持つようなものである．
