問題 5-1 の解答例
ファインマン物理学の § 29 The Motion of Charges in Electric and Magnetic Fields では, 質量分析器などの機器の動作原理をやや詳しく述べることで「電磁場内の荷電粒子の運動」を解説している．そこでこの問題の解答は, その文章を利用して考えてみることにしよう．
Problem 5-1
Consider any piece of experimental equipment designed to measure momentum by means of a classical approximation, such as a magnetic field analyzer. Analyze the equipment by the methods outlined in the preceding paragraphs. Show that the same result for the momentum amplitude is obtained.
( 解答 ) 荷電粒子の運動量測定は, 荷電粒子が一様磁場中を進むときにはローレンツ力によりカーブ (円弧) を描くが, その曲率半径が運動量に比例することを利用して実行できる．粒子速度 $\mathbf{v}$ に垂直な方向を持った一様磁場 $\mathcal{B}$ 中を電荷 $e$ を持った粒子が進むときには, ローレンツ力は常に $\mathbf{v}$ に垂直であるから, それは速度の方向を変化させるだけで, その大きさは変えない．それ故, 荷電粒子は円周に沿って運動し, その円の曲率半径 $\rho$ はローレンツ力を求心力と等しいとおくことによって見出される． 従って, 運動量 $p$ はその曲率半径 $\rho$ を用いて, 次のように求めることが出来る： $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} $
\begin{equation}
m\mfrac{v^{2}}{\rho}=\mfrac{e}{c}v\mathcal{B},\quad\rightarrow\quad
\rho=\mfrac{c m v}{e\mathcal{B}}=\mfrac{c p}{e\mathcal{B}}\qquad\therefore\quad
p=\mfrac{e}{c}\mathcal{B}\rho
\label{eq1}
\end{equation}
ただし, これは C.G.S. ガウス単位系を用いた式である．
以下の説明は, ファインマン物理学 IV 第 8 章からの抜粋である ( ただし式はガウス単位系のものに修正した )．荷電粒子が上図 1 の図 (a) の点 A において一様な磁場に入ったとし, 磁場は垂直であるとする．各粒子はその運動量に比例した半径を持つ円軌道に入る．もし全ての粒子が場の縁に垂直に入るならば, 粒子は Aからの距離 $x=2\rho$ の点 $C$ で磁場から離れるであろう．その距離 $x$は式\eqref{eq1} より運動量 $p$ に比例している． そこで点 C のような場所に計数管を置けば, 運動量 $p=e\mathcal{B}x/2c$ の近くの間隔 $\Delta p$ 中の運動量を持った粒子だけを検出できる．勿論だが, 粒子は計数管に入るまでに 180° 曲げられる必要はない．しかし, 所謂「180°分析器」は特有な性質を持つ．粒子は場の縁に垂直に入って来る必要はない．図 (b) は, 同じ大きさの運動量だが違う角度で場の中へ入った 3 個の粒子の軌道を示している．これらは図のように違った軌道を執るが, C に極めて近い点で場を離れることが分かる．つまり「焦点」があるわけである．このように焦点を結ぶ性質は「A に於ける大きな角度を許す」という利点を持つ．大きな許容角は一定時間に多数の粒子が数えられ, 一定の測定を行うのに要する時間を短く出来ることを意味する．磁場の強さを変えるか, 計数管を $x$ に沿ってずらすか, あるいは多数の計数管を並べて $x$ のある範囲を覆うかすれば, 入ってくる粒子線の「運動量スペクトル」$f(p)$ が測定出来る．ただし $f(p)$ は運動量の大きさが $p$ と $p+dp$ との間にある粒子の数が $f(p)dp$ であることを意味する．そこで $z$-方向の一定磁場が掛かった場合を考え, 次の図 2 のように座標軸を設定し, 問題 3-10 の式 (3-64) を核として用いることで, 式 (5-9) から $\psi(x_2,t_2)$ を求めてみよう．さらに式 (5-1) から式 (5-5) までと全く同様な手順に従って $\psi(x_2,t_2)$ から運動量振幅 $\phi(p_2)$ を求めてみよう．
式 (3.64) の核を問題文に合わせて次としよう：
\begin{equation}
K(2,1)=A\mfrac{\alpha}{\sin\alpha}\exp\left[\mfrac{im}{2\hbar}\left\{\mfrac{(z_2-z_1)^{2}}{T}
+\mfrac{\omega}{2}\cot\alpha\left[(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}\right]+\omega(x_1y_2-x_2y_1)\right\}\right]
\label{eq2}
\end{equation}
ただし $A$, $\alpha$, $T$, $\omega$ そして運動量 $p$ は次である：
\begin{equation}
A=\left(\mfrac{m}{2\pi i\hbar T}\right)^{3/2},\quad \alpha=\mfrac{\omega T}{2},\quad
T=t_2-t_1,\quad \omega=\mfrac{e\mathcal{B}}{mc},\quad p=\mfrac{e\mathcal{B}}{c}\rho=m\omega\rho
\label{eq3}
\end{equation}
問題文の仮定から $z_2=z_1$, $y_2=y_1$ であり $x_2-x_1=2\rho$ である．そして 180° 集束器だから $\omega T=\pi$ として$\alpha=\pi/2\mp \varepsilon$ と出来るであろう．ただし $\varepsilon$ は入射粒子の持つ運動量の許容角に相当する角度とする．すると$\sin\alpha\approx 1$, $\cot\alpha=\cot(\pi/2\mp \varepsilon)=\pm\tan\varepsilon \approx \pm \varepsilon$ と近似できるから,
\begin{align}
K(2,1)&\approx A\alpha\exp\left[\mfrac{im}{2\hbar}\left\{\mfrac{\omega}{2}\cot(\alpha)(x_2-x_1)^{2}-\omega y_1(x_2-x_1)\right\}\right]\notag\\
&=A\alpha\exp\left[\mfrac{im}{2\hbar}\left\{\mfrac{\omega}{2}(\pm\varepsilon)4\rho^{2}-2\rho\omega y_1\right\}\right]
=A\alpha\exp\left(\pm\mfrac{i m\rho^{2}\omega}{\hbar}\varepsilon\right)\exp\left(-\mfrac{im\rho\omega}{\hbar}y_1\right)
\label{eq4}
\end{align}
このとき, 量 $L_z=-m\rho^{2}\omega$ は, 荷電粒子の「 $z$ 方向の角運動量」になっている．また 図 2 のような座標では $y_1=y_2$であり, かつ運動量 $\mb{p}_1$ と $\mb{p}_2$ は逆向きで大きさは同じ $y$ 成分のみの値 $p$ である． さらに $\overrightarrow{AC}=\mb{R}$ とすると, 運動量 $\mb{p}_1$ はこのベクトル $\mb{R}$ と明らかに直交し $\mb{p}_1\cdot\mb{R}=0$ であるから次が言える：
\begin{equation*}
\mb{p}_2 \cdot \mb{r}_2 =\mb{p}_2 \cdot (\mb{r}_1+\mb{R})=\mb{p}_2\cdot\mb{r}_1\quad\therefore\quad
\mb{p}_1\cdot\mb{r}_1=\mb{p}_2\cdot\mb{r}_2=\mb{p}_2\cdot\mb{r}_1
\end{equation*}
よって,
\begin{equation}
K(2,1)=A\alpha\exp\left\{-\mfrac{iL_z}{\hbar}(\mp\varepsilon)\right\}\exp\left(-\mfrac{i}{\hbar}\mb{p}_1\cdot\mb{r}_1\right)
=A\alpha\exp\left\{-\mfrac{iL_z}{\hbar}(\mp\varepsilon)\right\}\exp\left(-\mfrac{i}{\hbar}\mb{p}_2\cdot\mb{r}_1\right)
\label{eq5}
\end{equation}
このとき因子 $\exp\{-i L_z(\mp\varepsilon)/\hbar\}$ は, 粒子の状態ベクトルを $z$-軸の周りに有限角度 $\mp\varepsilon$ だけ回転させる「回転演算子 $\mathcal{D}_z(\mp\varepsilon)$」であることに注意すべし． この核 $K(2,1)$ と式 (5-9) から $\psi(\mb{r}_2,T)$ は次式に書ける：
\begin{align}
\psi(\mb{r}_2,T)&=\int_{-\infty}^{\infty}d\mb{r}_1\,K(2,1)\,f(\mb{r}_1)
=A\alpha\int_{-\infty}^{\infty}d\mb{r}_1\,\exp\left\{-\mfrac{iL_z}{\hbar}(\mp\varepsilon)\right\}
\exp\left(-\mfrac{i}{\hbar}\mb{p}_1\cdot\mb{r}_1\right)\,f(\mb{r}_1)\notag\\
&=A\alpha\int_{-\infty}^{\infty}d\mb{r}_1\,\exp\left\{-\mfrac{iL_z}{\hbar}(\mp\varepsilon)\right\}
\exp\left(-\mfrac{i}{\hbar}\mb{p}_2\cdot\mb{r}_1\right)\,f(\mb{r}_1)
\label{eq6}
\end{align}
この振幅の絶対値の二乗 $|\psi(\mb{r}_2,T)|^{2}$ は, 粒子が $\mb{r}_2$ と $\mb{r}_2+d\mb{r}_2$ の間に存在する確率を与える．定義からそれは運動量が $\mb{p}_2$ と $\mb{p}_2+d\mb{p}_2$ の間に存在する確率に一致するべきである：
\begin{align}
P(\mb{r}_2)\,d\mb{r}_2&=\left|A\alpha\int_{-\infty}^{\infty}d\mb{r}_1\,\exp\left\{-\mfrac{iL_z}{\hbar}(\mp\varepsilon)\right\}
\exp\left(-\mfrac{i}{\hbar}\mb{p}_2\cdot\mb{r}_1\right)\,f(\mb{r}_1)\,\right|^{2}\,d\mb{r}_2\notag\\
&=\Bigl|A\alpha\Bigr|^{2}\,d\mb{r}_2\,\left|\int_{-\infty}^{\infty}d\mb{r}_1\,\exp\left\{-\mfrac{iL_z}{\hbar}(\mp\varepsilon)\right\} \exp\left(-\mfrac{i}{\hbar}\mb{p}_2\cdot\mb{r}_1\right)\,f(\mb{r}_1)\,\right|^{2}\notag\\
&=P(\mb{p}_2)\,d\mb{p}_2=\mfrac{d\mb{p}_2}{(2\pi\hbar)^{3}}\left|\phi(\mb{p}_2)\right|^{2}
\label{eq7}
\end{align}
次に $p=m\omega\rho$ の関係を 3 次元的に翻訳して $d\mb{r}_2$ と $d\mb{p}_2$ の関係を考えて行こう． 座標原点を$O=(x_1,y_1-\rho,0)$ としてみる．このとき $z$ 方向は明らかに自由粒子的である．そして $\mb{r}=(x,y,z)=\mb{r}_2$ また $\mb{p}=\dot{\mb{r}}=(p_x,p_y,p_z)=\mb{p}_2$ とするならば, $x_2=2\rho$, $y_2=2\rho$ として,
\begin{align}
&p_x=m\omega\rho=m\omega\mfrac{x_2}{2}=\mfrac{m}{T}\mfrac{\omega T}{2}x_2=\mfrac{m}{T}\alpha x_2,
\quad p_y=\mfrac{m}{T}\alpha y_2,\quad p_z=\mfrac{m}{T}z_2\notag\\
&\rightarrow\quad dp_x=\mfrac{m\alpha}{T}dx_2,\quad dp_y=\mfrac{m\alpha}{T}dy_2,\quad dp_z=\mfrac{m}{T}dz_2
\label{eq8}
\end{align}
よって,
\begin{equation}
d\mb{p}_2=dp_xdp_ydp_z=\mfrac{m\alpha}{T}\cdot\mfrac{m\alpha}{T}\cdot\mfrac{m}{T}dx_2dy_2dz_2
=\mfrac{m^{3}\alpha^{2}}{T^{3}}d\mb{r}_2,\ \rightarrow\ d\mb{r}_2=\mfrac{T^{3}}{m^{3}\alpha^{2}}d\mb{p}_2
\label{eq9}
\end{equation}
従って,
\begin{equation}
\Bigl|A\alpha\Bigr|^{2}d\mb{r}_2=|A|^{2}\alpha^{2}d\mb{r}_2=\left(\mfrac{m}{2\pi\hbar T}\right)^{3}\alpha^{2}
\times\mfrac{T^{3}}{m^{3}\alpha^{2}}d\mb{p}_2=\mfrac{d\mb{p}_2}{(2\pi\hbar)^{3}}
\label{eq10}
\end{equation}
よって式\eqref{eq7} は次に書ける：
\begin{align}
P(\mb{p}_2)\,d\mb{p}_2&=\mfrac{d\mb{p}_2}{(2\pi\hbar)^{3}}
\left|\int_{\infty}^{\infty}d\mb{r}_1\,\exp\left\{-\mfrac{iL_z}{\hbar}(\mp\varepsilon)\right\}
\exp\left(-\mfrac{i}{\hbar}\mb{p}_2\cdot\mb{r}_1\right)\,f(\mb{r}_1)\,\right|^{2}\notag\\
&=\mfrac{d\mb{p}_2}{(2\pi\hbar)^{3}}\left|\phi(\mb{p}_2)\right|^{2}
\label{eq11}
\end{align}
以上から, この場合の運動量振幅 $\phi(\mb{p}_2)$ は次であると言える：
\begin{equation}
\phi(\mb{p}_2)=\int_{-\infty}^{\infty}d\mb{r}_1\,\exp\left\{-\mfrac{iL_z}{\hbar}(\mp\varepsilon)\right\}
\exp\left(-\mfrac{i}{\hbar}\mb{p}_2\cdot\mb{r}_1\right)\,f(\mb{r}_1)
\label{eq12}
\end{equation}
これを式 (5-6) と比較するならば, 次の位相因子だけが余分に付加することが分かる：
\begin{equation}
\exp\bigl(i\delta\bigr)=\mathcal{D}_z(\mp\varepsilon)=\exp\left\{-\mfrac{iL_z}{\hbar}(\mp\varepsilon)\right\}
\label{eq13}
\end{equation}
この位相因子が付加したのは, 粒子が入射する際に, ある程度の運動量の許容角度 $\theta=\mp\varepsilon$ を与えたためである．この位相因子は,「出発点 $A$ を通る $z$-軸を中心として, 粒子の状態ベクトルを微小回転させる演算子 $\mathcal{D}_z(\mp\varepsilon)$ に相当している」と言える．しかし前述のようにこの装置には粒子線束の集束作用があるので, 出発点で粒子線に多少の広がりが有っても点 $C$ の近傍に集束して到着する．そこで, 式 (5-5) の場合と同様に「この位相因子すなわち粒子線束の広がりを表現する回転演算子は微小であるとして無視する」ならば, 結果式 (12) は式 (5-6)と同形の振幅となると言える：
\begin{equation}
\phi(\mb{p}_2)=\int_{-\infty}^{\infty}d\mb{r}_1\,\exp\left(-\mfrac{i}{\hbar}\mb{p}_2\cdot\mb{r}_1\right)\,f(\mb{r}_1)
\label{eq14}
\end{equation}
