問題 5-5 の解答例
Problem 5-5
Assume that the function $f(x,y,z,\dotsb)$ can be represented by*1 $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} $
\begin{equation}
f(x,y,z,\dotsb)=\sum_a\sum_b\sum_c \dotsb\ \chi_{a, b, c,\dotsb}(x,y,z,\dotsb)\, F^{'}_{a,b,c,\dotsb}
\tag{5-38}
\end{equation}
By substituting this relation into Eq. (5-36), and using the orthogonal properties of $\chi$ as defined by Eq. (5.35), show that $F^{'}_{a, b, c,\dotsb}=F_{a, b,c,\dotsb}$
(解答) 式 (5.38) は多次元の場合である．その場合, 式 (5.31) の所で述べられているように, 今までの式中の $x$ は幾つかの変数 $x,y,z,\dotsb$ が作る変数空間 $\mb{x}=(x,y,z,\dotsb)$ で置き換えるべきである．従って, 式 (5.35) $\sim$ 式 (5.38) は, 式中の $x$ を $\mb{x}$ に置き換えれば, それが多変数の場合の式になる．また物理量 $A,B,C,\dotsb$ は離散的な場合と連続量の場合が有り得る．すると, 式 (5.35) $\sim$ 式 (5.38) を多変数の場合に書き換えた式は次のようになる：
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} d\mb{x}\,\chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(\mb{x})\,\chi_{a^{'},b^{'},c^{'},\dotsb}(\mb{x})
=\left\{ \begin{aligned}
&\delta_{a\, a^{'}}\, \delta_{b\, b^{'}}\, \delta_{c\, c^{'}}\,\dotsb &:\text{discrete} \\
&\delta(a-a^{'})\,\delta(b-b^{'})\,\delta(c-c^{'})\dotsb &:\text{continuous}\end{aligned}
\right.\quad
\tag{5.35'}
\end{equation}
\begin{align*}
F_{a,b,c,\dotsb}&=\int_{-\infty}^{\infty} dx\int_{-\infty}^{\infty} dy\int_{-\infty}^{\infty}
dz\,\dotsb\,\chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(x,y,z,\dotsb)\,f(x,y,z,\dotsb)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty} d\mb{x}\,\chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(\mb{x})\,f(\mb{x})
\tag{5.36'}
\end{align*}
\begin{equation}
f(\mb{x})=\left\{
\begin{aligned}
&\sum_a\sum_b\sum_c \dotsb \ \chi_{a, b, c,\dotsb}(\mb{x})\,F_{a,b,c,\dotsb} &:\text{discrete} \\
&\int da\int db\int dc\,\dotsb\ \chi_{a, b, c,\dotsb}(\mb{x})\,F_{a,b,c,\dotsb} &:\text{continuous}
\end{aligned}\right.\quad
\tag{5-37'}
\end{equation}
\begin{equation}
f(\mb{x})=\left\{
\begin{aligned}
&\sum_{a^{'}} \sum_{b^{'}} \sum_{c^{'}}\,\dotsb\ \chi_{a^{'}, b^{'}, c^{'},\dotsb}(\mb{x})\, F^{'}_{a^{'},b^{'},c^{'},\dotsb} &:\text{discrete} \\
&\int da'\int db' \int dc'\,\dotsb\ \chi_{a^{'},b^{'},c^{'},\dotsb}(\mb{x})\, F^{'}_{a^{'},b^{'},c^{'},\dotsb} &:\text{continuous}
\end{aligned}\right.\quad
\tag{5.38'}
\end{equation}
以下では, 離散的な場合で議論して行こう．連続的な場合は和を積分に置き換えればよいだけである． 式 (5.38') を式 (5.36') に代入すると,
\begin{align}
F_{a,b,c,\dotsb}&=\int^{\infty}_{-\infty} d\mb{x}\ \chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(\mb{x})\,f(\mb{x})\notag\\
&=\int^{\infty}_{-\infty} d\mb{x}\ \chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(\mb{x})\,\sum_{a^{'}} \sum_{b^{'}} \sum_{c^{'}}\,\dotsb\
\chi_{a^{'},b^{'},c^{'},\dotsb}(\mb{x})\ F^{'}_{a^{'},b^{'},c^{'},\dotsb}\notag\\
&=\sum_{a^{'}} \sum_{b^{'}} \sum_{c^{'}}\dotsb\, F^{'}_{a^{'},b^{'},c^{'},\dotsb}\,
\int_{-\infty}^{\infty} d\mb{x}\ \chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(\mb{x})\,\chi_{a^{'},b^{'},c^{'},\dotsb}(\mb{x})
\end{align}
これに正規直交性を表わす式 (5.35') を代入することで, 求めるべき式が得られる：
\begin{align}
F_{a,b,c,\dotsb}&=\sum_{a^{'}} \sum_{b^{'}} \sum_{c^{'}}\,\dotsb\, F^{'}_{a^{'},b^{'},c^{'},\dotsb}\,
\int_{-\infty}^{\infty} d\mb{x}\ \chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(\mb{x})\,\chi_{a^{'},b^{'},c^{'},\dotsb}(\mb{x})\notag\\
&=\sum_{a^{'}} \sum_{b^{'}} \sum_{c^{'}}\,\dotsb\, F^{'}_{a^{'},b^{'},c^{'},\dotsb}\,
\delta_{a\,a^{'}}\,\delta_{b\,b^{'}}\,\delta_{c\,c^{'}}\,\dotsb\notag\\
&=F^{'}_{a,b,c,\dotsb}
\end{align}
