ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

問題 5-7 の解答例

Problem 5-7

Suppose that the $A$, $B$, $C$, $\dotsb$ representation does not correspond to either coordinate representation or momentum representation, but instead is some third way of representing the state of the system. Suppose we know the function $\chi_{a, b, c,\dotsb}(x,y,z,\dotsb)$ which permits us to transform back and forth between coordinate representation and $A$, $B$, $C$, $\dotsb$ representation. Suppose further that we know the transformation function necessary to transform back and forth between coordinate representation and momentum representation. What then is the function neccessary for the transformation between momentum representation and $A$, $B$, $C$, $\dotsb$ representation ?


(解答) 求めるべきは,「運動量表示と $A, B, C, \dotsb$ 表示との間に必要な変換関数 $\chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(p_x, p_y, p_z)$ 」, すなわち「特性関数」である.この「変換関数」または「特性関数」: $\chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(p_x, p_y, p_z)$ を用いるならば, 運動量表示 $F_{p_x, p_y, p_z}$ の $A, B, C, \dotsb$ 表示 $F_{a,b,c,\dotsb}(p_x, p_y, p_z)$ への変換は次に書ける: $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} $

\begin{equation} F_{a,b,c,\dotsb}(p_{x}, p_{y}, p_{z})=\sum_{p_x}\sum_{p_y}\sum_{p_z}\,\chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(p_{x}, p_{y}, p_{z})\,F_{p_{x}, p_{y}, p_{z}}, \label{eq1} \end{equation}

ただし, 運動量は連続量であるから, 実際には積分の形になることに注意する:

\begin{equation*} F_{a,b,c,\dotsb}(p_{x}, p_{y}, p_{z})=\int \frac{d^{3}\mb{p}}{(2\pi\hbar)^{3}}\,\chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(p_{x}, p_{y}, p_{z})\,F_{p_{x}, p_{y}, p_{z}} \tag{1'} \end{equation*}

以下では式 \eqref{eq1} を用いて議論して行くことにする.

まず仮定から, 変換関数 $\chi^{*}_{a, b, c,\dotsb}(x,y,z)$ と変換関数 $\chi^{*}_{p_{x}, p_{y}, p_{z}}(x,y,z)$ は分かっている.従って, 状態の $A, B, C, \dotsb$ 表示, 及び, 状態の運動量表示は次に書けるはずである:

\begin{align} &F_{a,b,c,\dotsb}=\int dx\int dy\int dz\ \chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(x,y,z)\,\psi(x,y,z),\label{eq2}\\ &F_{p_{x}, p_{y}, p_{z}}=\int dx\int dy\int dz\ \chi^{*}_{p_{x}, p_{y}, p_{z}}(x,y,z)\,\psi(x,y,z) \label{eq3} \end{align}

さらに, 状態関数 $\psi(x,y,z)$ は, 式 (5-37) を運動量表示の場合に適用した式から, 運動量表示によって次のように書けるはずである:

\begin{equation} \psi(x,y,z)=\sum_{p_x}\sum_{p_y}\sum_{p_z}\, F_{p_{x}, p_{y}, p_{z}}\,\chi_{p_{x}, p_{y}, p_{z}}(x,y,z) \label{eq4} \end{equation}

そこで, この式 \eqref{eq4} を上述の式 \eqref{eq2} 及び式 \eqref{eq3} に代入すれば $F_{a,b,c,\dotsb}$ すなわち $F_{a,b,c,\dotsb}(p_{x}, p_{y}, p_{z})$ の形が求められる:

\begin{align} &F_{a,b,c,\dotsb}(p_{x}, p_{y}, p_{z})=\int dx\int dy\int dz\ \chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(x,y,z)\,\psi(x,y,z)\notag\\ &\quad=\int dx\int dy\int dz\ \chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(x,y,z)\,\sum_{p_{x}}\sum_{p_{y}}\sum_{p_{z}} F_{p_{x}, p_{y}, p_{z}}\ \chi_{p_{x}, p_{y}, p_{z}}(x,y,z)\notag\\ &\quad=\sum_{p_x}\sum_{p_y}\sum_{p_z}\,\int dx\int dy\int dz\ \chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(x,y,z)\,\chi_{p_{x}, p_{y}, p_{z}}(x,y,z)\,F_{p_{x}, p_{y}, p_{z}} \label{eq5} \end{align}

式 \eqref{eq1} と式 \eqref{eq5} との比較から, 求めるべき「運動量表示と $A, B, C, \dotsb$ 表示との間に必要な変換関数 $\chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(p_x, p_y, p_z)$ 」は, 次となることが分かる:

\begin{equation} \chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(p_{x}, p_{y}, p_{z})=\int dx\int dy\int dz\ \chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(x,y,z)\,\chi_{p_{x}, p_{y}, p_{z}}(x,y,z) \label{eq6} \end{equation}