問題 5-9 の解答例
Problem 5-9
The transformation function between space representation and momentum representation is $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} $
\begin{equation}
\chi_{a, b, c}(\mb{r})=e^{(i/\hbar)\mb{p}\cdot\mb{r}}
\tag{5-48}
\end{equation}
( see Prob. 5-6 ). Choose the physical quantity $A$ as the momentum $p_x$ in the $x$ direction. Show that the function $G_A$ is
\begin{equation}
G_{p_x}(x,x^{'}) =\mfrac{\hbar}{i}\delta^{'}(x-x^{'})\,\delta(y-y^{'})\,\delta(z-z^{'})
\tag{5-49}
\end{equation}
where $\displaystyle{\delta^{'}(x)=\odiff{x}\delta(x)}$. With this result determine the operator corresponding to the $x$ component of momentum and show that the expected value of this component of momentum can be written as
\begin{equation}
\langle p_x \rangle =\int_{-\infty}^{\infty} f^{*}(x) \mfrac{\hbar}{i} \ppdiff{f}{x}\,dx
\tag{5-50}
\end{equation}
( 解答 ) Dirac のデルタ関数の最も普通に用いられる表式を, 運動量 $p_x=\hbar k$ を用いて表わすと次となる：
\begin{align}
\delta(x)&=\reverse{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\,k\, x}\,dk=\reverse{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\, \hbar k\, x/\hbar}\,d(\hbar k)=\reverse{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ip_x x/\hbar}\,dp_x \\
\rightarrow &\quad \int_{-\infty}^{\infty}dp_x\,e^{ip_xx/\hbar}=2\pi\hbar\,\delta(x)
\end{align}
さらに式 (1) を $x$ について微分すると,
\begin{equation}
\delta^{'}(x)=\odiff{x}\delta(x)=\reverse{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}
\left(\mfrac{ip_x}{\hbar}\right)\,e^{ip_xx/\hbar}\,dp_x
=\mfrac{i}{\hbar}\times\reverse{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}p_x\,e^{ip_x x/\hbar}\,dp_x
\end{equation}
よって,
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}p_x\,e^{ip_x x/\hbar}\,dp_x=\mfrac{\hbar}{i}2\pi\hbar\,\delta^{'}(x)
\end{equation}
式 (5.44) から $G_{p_x}$ の定義式を書くと次となる：
\begin{equation}
G_{p_x}(x,x^{'})=\sum_{\mb{p}}p_x\chi_{\mb{p}}(\mb{r})\chi^{*}_{\mb{p}}(\mb{r}^{'})
=\sum_{p_x,p_y,p_z}p_x\,e^{i\mb{p}\cdot\mb{r}/\hbar}\,e^{-i\mb{p}\cdot\mb{r}^{'}/\hbar}
\end{equation}
しかしながら運動量は連続量であることから, この場合, 和は積分に置き換えるべきである：
\begin{align}
G_{p_x}(x,x^{'})&=\sum_{p_x,p_y,p_z}p_x\,e^{i\mb{p}\cdot\mb{r}/\hbar}\,e^{-i\mb{p}\cdot\mb{r}^{'}/\hbar}
\Rightarrow \int \mfrac{d\mb{p}}{(2\pi\hbar)^{3}}\,p_x\,e^{i\mb{p}\cdot\mb{r}/\hbar}\,e^{-i\mb{p}\cdot\mb{r}^{'}/\hbar}\notag\\
&=\int \mfrac{dp_x}{2\pi\hbar}\int \mfrac{dp_y}{2\pi\hbar}\int \mfrac{dp_z}{2\pi\hbar}\ p_x\, e^{i\mb{p}\cdot\mb{r}/\hbar}
\,e^{-i\mb{p}\cdot\mb{r}^{'}/\hbar}
\end{align}
これに上述の結果式 (2) 及び式 (4) を用いると次となる：
\begin{align}
G_{p_x}(x,x^{'})&=\int \mfrac{dp_x}{2\pi\hbar}\int \mfrac{dp_y}{2\pi\hbar}\int \mfrac{dp_z}{2\pi\hbar}\ p_x\,e^{i(p_xx+p_yy+p_zz)/\hbar}
\,e^{-i(p_xx^{'}+p_yy^{'}+p_zz^{'})/\hbar}\notag\\
&=\reverse{(2\pi\hbar)^{3}}\int_{-\infty}^{\infty} dp_x\,p_x\,e^{ip_x(x-x^{'})/\hbar}
\int_{-\infty}^{\infty}dp_y\,e^{ip_y(y-y^{'})/\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dp_z\,e^{ip_z(z-z^{'})/\hbar}\notag\\
&=\reverse{(2\pi\hbar)^{3}}\times\mfrac{\hbar}{i}2\pi\hbar\,\delta^{'}(x-x^{'})\times 2\pi\hbar\,\delta(y-y^{'})\times2\pi\hbar\,\delta(z-z^{'})
\end{align}
よって,
\begin{equation}
G_{p_x}(x,x^{'})=\mfrac{\hbar}{i}\delta^{'}(x-x^{'})\,\delta(y-y^{'})\,\delta(z-z^{'})
\end{equation}
また, 式 (5.43) と式 (5.45) の定義から
\begin{equation}
R(x)=\mathcal{A}\,f=\int dx^{'}\,G_A(x,x^{'})\,f(x^{'})
\end{equation}
従って, 運動量の $x$ 成分に対応する演算子 $\mathcal{A}_{p_x}=\hat{p_x}$ の定義式は次のように書ける：
\begin{equation}
F_{p_x,p_y,p_z}=\hat{p_x}\,\psi_{\mb{p}}=\int d\mb{r}^{'}\,G_{p_x}(x,x^{'})\,\psi_{\mb{p}}(\mb{r}^{'})=\phi(\mb{p})
\end{equation}
そして本文の式 (5-8) から, 関数 $\chi_{\mb{p}}(\mb{r})=e^{i\mb{p}\cdot\mb{r}/\hbar}$ は, 状態の運動量表示 $F_{p_x,p_y,p_z}=\phi(\mb{p})$ を座標表示 $\psi(\mb{r})$ に変換する際の「変換関数」と見做せるし, または, 運動量 $\mb{p}$ を持つ状態の「波動関数」すなわち「確率振幅の座標表示 」 $\psi_{\mb{p}}(\mb{r})$ とも見做せる訳である．
上式 (10) は, 前述の結果式 (7) とデルタ関数の性質を用いることで次のように変形出来る：
\begin{align}
\hat{p_x}\,\psi_{\mb{p}}&=\int d\mb{r}^{'}\,G_{p_x}(x,x^{'})\,\psi_{\mb{p}}(\mb{r}^{'})
=\int d\mb{r}^{'}\,G_{p_x}(x,x^{'})\,e^{i\mb{p}\cdot\mb{r}^{'}/\hbar}\notag\\
&=\int dx^{'}\int dy^{'}\int dz^{'}\,\mfrac{\hbar}{i}\delta^{'}(x-x^{'})\,\delta(y-y^{'})
\,\delta(z-z^{'})\,e^{i\mb{p}\cdot\mb{r}^{'}/\hbar}\notag\\
&=\int dx^{'}\int dy^{'}\int dz^{'}\,\mfrac{\hbar}{i}\pdiff{x}\delta(x-x^{'})\,\delta(y-y^{'})
\,\delta(z-z^{'})\,e^{i\mb{p}\cdot\mb{r}^{'}/\hbar}\notag\\
&=\mfrac{\hbar}{i}\pdiff{x}\int dx^{'}\int dy^{'}\int dz^{'}\,\delta(x-x^{'})\,\delta(y-y^{'})
\,\delta(z-z^{'})\,e^{i\mb{p}\cdot\mb{r}^{'}/\hbar}\notag\\
&=\mfrac{\hbar}{i}\pdiff{x}\int dx^{'}\int dy^{'}\int dz^{'}\,e^{i(p_x x^{'}+ip_y y^{'} + ip_z z^{'})/\hbar}\,\delta(x^{'}-x)\,\delta(y^{'}-y)
\,\delta(z^{'}-z)\notag\\
&=\mfrac{\hbar}{i}\pdiff{x}\,\,e^{i(p_x x+ip_y y + ip_z z)/\hbar}=\mfrac{\hbar}{i}\pdiff{x}\,\,e^{i\mb{p}\cdot\mb{r}/\hbar}\notag\\
\therefore&\quad \hat{p_x}\,\psi_{\mb{p}}=\mfrac{\hbar}{i}\pdiff{x}\,\psi_{\mb{p}}(\mb{r})
\end{align}
よって, 運動量の $x$ 成分に対応する演算子 $\mathcal{A}_{p_x}=\hat{p_x}$ は次であると言える：
\begin{equation}
\mathcal{A}_{p_x}=\hat{p_x}=\mfrac{\hbar}{i}\pdiff{x}=-i\hbar\,\pdiff{x}
\end{equation}
さらに, この $\mathcal{A}_{p_x}$ を式 (5.46) に代入することで式 (5-50) が言える：
\begin{align}
\langle A \rangle &= \int dx\, f^{*}(x)\,\mathcal{A}\,f(x)=\int dx\int dx^{'}\,f^{*}(x)\,G_A(x,x^{'})\,f(x^{'}) \tag{5-46}\\
&\rightarrow\quad \langle p_x \rangle =\int dx\,f^{*}(x)\,\mathcal{A}_{p_x}\,f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}dx\,f^{*}(x)\mfrac{\hbar}{i}\pdiff{x}\,f(x)
\tag{5-50}
\end{align}
