和訳本の式 (5-8) の説明文が分かりづらいと感じたので自分流に訳してみた． 運動量表示への変換 粒子が時刻 $t$ において位置 $\mathbf{R}$ に存在する振幅を $\psi(\mathbf{R},t)$ と呼んできた．他方「運動量振幅」は, 式 (5.6)より次で与えられることが…

Problem 5-4 Suppose the wave function for a system is $\psi(x)$ at time $t_1$. Suppose further that the behavior of the system is described by the kernel $K(x_2,t_2; x_1,t_1)$ for motions in the interval $t_2\ge t \ge t_1$. Show that the p…

この問題を「経路積分ゼミナール」では「ラグランジュの未定定数法」を用いて解答している．しかしながらそれがよく分からなかったので, ここで示すのは「解答」とは言えないような「問題が意味することを理解する」ための記述である． Problem 5-3 Assume ,…

以下は B.d'Espagnat：" The Quantum Theory and Reality ", Scientific American, Nov. 1979, の和訳「サイエンス(1980年1月号)（別冊58)」p.102「量子論と実在」B.デスパニヤ, の記事から要点を抜き出し, それに補足を付けてまとめたものである． 局所実在…

式 (4-37)と式 (5-29) は似た形をしており, 初心者には紛らわしかった．よく見れば違った式で, 言っている内容も異なっているようだ．その点をまとめておこう．そしてついでに, 本文 p. 102 の「式 (4-37) より式 (5-29) が得られる」という部分の導出手順も…

Problem 5-2 If we transform only the time and not the spatial variables, defining \begin{equation} k(x_{2},E_{2}; x_{1},E_{1})=\int d t_{1} \int d t_{2}\, e^{+ i E_{2} t_{2}/\hbar} K(x_{2},t_{2}; x_{1},t_{1}) e^{- i E_{1} t_{1}/\hbar} \tag…

ファインマン物理学の § 29 The Motion of Charges in Electric and Magnetic Fields では, 質量分析器などの機器の動作原理をやや詳しく述べることで「電磁場内の荷電粒子の運動」を解説している．そこでこの問題の解答は, その文章を利用して考えてみるこ…

問題 5-1 は, 荷電粒子の場中での運動を利用した質量分析器などの装置を解析する問題である．そこで, その準備知識としてシュポルスキー：「原子物理学」の § 1-9 「荷電粒子の線束の集束と単色化」からの抜粋に加筆と修正を施したものを示しておこう． § 9 …

ブログを書くための参考書を借りようと図書館へ行った際に, V. J. ステンガー著「宇宙に心はあるか」という本が目に入り, これもついでに借りて来て読んでみた．すると, この本には題名からは予想しなかった " 量子力学の解釈問題についての現状と展望とが明…

Problem 4-12 Carry out the integral in Eq. (4.64) by completing the square. Show that the correct free-particle kernel ( i. e., the three - dimentional version of Eq. 3.3 ) results. ( 解答 ) 式 (4.64) は次である： $ \def\ket#1{|#1\rangle} …

Problem 4-11 Show that for free particles in three dimensions the solutions $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\par…

問題 4-11 では「３次元の自由粒子」の波動関数を扱っている．Dirac :「量子力学」の§ 30 は「自由粒子」について述べている．そこで, しつこいようだが解答を書く前に, この Dirac の § 30 の訳文を示しおこう． 30. 自由粒子(The free particle) 量子力学…

Problem 4-10 Verify that $K$ as defined in Eq. (4-59) satisfies the Schrödinger equation (4-29) . ( 解答 ) 式 (4.29) と式 (4.59) は次である： $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2…

原書の§ 12-7 及び § 12-8 では「外場ポテンシャル $V(t)$」をそのまま式に使用している．しかし校訂版で訂正されているように,「原書の $V(t)$ はポテンシャルではなく外力 $f(t)$ に相当する」ようだ． なぜなら, まず § 6-1 の式 (6.2) に, 外力 $f(t)$ …

Problem 4-9 Show from the fact that $H$ is hermitian that Eq. (4-46) holds. $\ \ $ [ Choose $f=\phi_2$, $g=\phi_1$ in Eq. (4-30). ] $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle…

Problem 4-8 Show from the fact that $H$ is hermitian that $E$ is real. $\ \ $ [ Choose $f=g=\phi$ in Eq. (4-30). ] $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} …

Problem 4-7 Show that if $t_1 < t_3$, the left-hand side of Eq. (4-38) equals $K^{*}(3,1)$ $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\p…

Problem 4-6 Show that $K(2,1) \rightarrow \delta(x_2-x_1)$ as $t_2\to t_1+0$. $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\p…

問題 4-6 の準備として Dirac の $\delta$ 関数について書いておこう．Dirac の $\delta$ 関数は, 1930 年に Paul Dirac が書いて大きな影響を与えた本：「量子力学」の中で, Dirac が離散的な「クロネッカーのデルタ」の連続的な場合の類似物を利用する際の…

以下は「ファインマン物理学」の第25章の第5節と第26章の第1節に多少の修正と加筆をしたものである．ここでは $c=1$ とする． 動く電荷による４元ポテンシャル $ \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\…

前のブログ：「Liénard-Wiechert の点ポテンシャルについて」に書いたように, Liénard-Wiechert ポテンシャルは「等速度運動する点電荷」が作るポテンシャルであった．それは「位置 $\mathbf{x}'$ で運動する源泉 (電荷及び電流) 」が観測点 $P$ (位置 $\mat…

この問題は自力では解けなかったので, 「経路積分ゼミナール」を参照して解答としている． Problem 4-5 Using the relation \begin{equation} K(2,1)=\int_{-\infty}^{\infty} K(2,3)K(3,1)\,dx_3 \tag{4-26} \end{equation} with $t_3-t_1=\varepsilon$, an…

4次元の勾配 次に議論すべきは勾配の4次元的な類似物についてである． Vol. I の第14章で, ３つの演算子 $\partial/\partial x$, $\partial/\partial y$, $\partial/\partial z$ が3次元ベクトルと同じ変換性を持ち「勾配」と呼んだことを思い出そう．同じ構…

前のブログで「Liénard-Wiechertポテンシャルは相対論的な式である」ことを述べた．相対論はずっと前に内山の教科書で学んだが内容はもうすっかり忘れているし, 最近は「相対論をちゃんと分かってないな」と痛感することがしばしばである．ファインマン物理…

Problem 4-4 Show $$ \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} \def\mfrac#1#2{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\pa…

Problem 4-3 Show that the complex conjugate function $\psi^{*}$, defined as the function $\psi$ with every $i$ changed to $-i$, satisfies $$ \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1…

高校物理でも「ボーアの理論」は学ぶと思う．たとえばある教科書には次のような文章が載っていた： ラザフォードの原子模型には, 重大な難点があった．従来の電磁波の理論からすると, 原子核の周りの電子の回転運動のために電磁波が放射されるので, 電子はエ…

Problem 4-2 For a charged particle in a magnetic field the lagrangian is $$ \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} \def\mfrac#1#2{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}} L=\frac{m\dot{\mb{x}}^{2…

Problem 4-1 Show that for a single particle moving in three dimensions in a potential energy $V(\mathbf{x},t)$ the Schrödinger equation is \begin{equation} -\frac{\hbar}{i}\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\ps…

前に書いたブログ記事：「グリーン関数について part 4」の中で, 式(36)の「リエナール・ヴィーヒェルトのポテンシャル」を紹介した． $ \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}}…