たたみ込みの可換性 - ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

原書及び訳本では, 式 (12.45) の前で「関数 $B$ は相関関数 $A$ の逆であること」, すなわち, 次のような「たたみ込み」(convolution) の関係式が成り立つと書いてある： $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} $

\begin{equation*} A(t)*B(t)\equiv \int ds\, B(t-s)A(s)=\delta (t) \tag{1} \end{equation*}

これを校訂版では次式のように修正している：

\begin{equation*} \int ds\, A(t-s)B(s)=\delta (t) \tag{2} \end{equation*}

しかし,「たたみ込み」では可換則と結合則が成り立つ：

\begin{align*} f(t)&=f_1(t)*f_2(t) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} ds\,f_1(s) f_2(t-s),\tag{3}\\ \rightarrow &\quad f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t),\quad [f_1(t)*f_2(t)]*f_3(t)=f_1(t)*[ f_2(t)*f_3(t)] \tag{4} \end{align*}

例えば、H. P. スウ：「フーリエ解析」の § 4. 7 を参照されたい．

この可換則が成り立つことは, 例えば式(1) に於いて変数を $(t-s)\to u$ とすると, 式(1) は式(2) に一致することで確認できる．このとき$s=t-u$, また $ds=-du$ であるから,

\begin{equation*} A(t)*B(t)=\int_{-\infty}^{\infty} ds\,B(t-s)A(s)=\int_{-\infty}^{\infty} du\,B(u)A(t-u) \tag{5} \end{equation*}

ここで変数を $u\to s$ と書き直すと, 式(5) はまさに式(2) そのものである：

\begin{equation*} \int du\,B(u)A(t-u)=\int ds\, B(s)A(t-s)=\int ds\, A(t-s)B(s)\equiv B(t)*A(t) \tag{6} \end{equation*}

校訂版が敢えて式(2) のように修正したのは, 式 (12.42) からの導出を考えているからであった．すなわち, 式 (12.42) に於いて $A(t,\tau)=A(t-\tau)$ 、 $B(\tau,s)=B(\tau-s)$ とすると,

$\displaystyle \int d\tau\,A(t,\tau)\,B(\tau,s)=\delta(t-s)\ \rightarrow\ \int d\tau\,A(t-\tau)\,B(\tau-s)=\delta(t-s) \tag{7}$

となるが, 更に $s=0$ とすれば式(2) の形になるからである：

$\displaystyle \int d\tau\,A(t-\tau)\,B(\tau)=\delta(t) \tag{8}$

この議論は問題 (12.1) に関連したものである．今その問題 (12.1) に挑戦しているのだが, 神の声も聞こえず手がかりが全然ない〜〜。いつになったら解けるだろう?