ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

問題 2-2 の解答例

【問題 2−2】調和振動子の場合 $L=(m/2)(\dot{x}^{2}-\omega^{2}x^{2})$ である.$T=t_b-t_a$ として古典的作用が

\begin{equation} S_{cl}=\frac{m\omega}{2\sin \omega T}\Bigl[ (x_a^{2}+x_b^{2})\cos\omega T -2 x_a x_b \Bigr] \tag{2.9} \end{equation}
であることを示せ.


( 解答 ) このラグランジアンの場合 $\partial L/\partial \dot{x}=m\dot{x}$、$\partial L/\partial x = -m\omega^{2} x$ であるから, ラグランジュ方程式は次となる: $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} $

\begin{equation*} \odiff{t}\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)-\ppdiff{L}{x}=m\dot{x}+m\omega^{2}x=0\quad \therefore\quad \ddot{x}+\omega^{2} x=0 \tag{1} \end{equation*}

この微分方程式の一般解は $x=A\sin \omega t +B \cos \omega t$ と書ける.境界条件:$x(0)=x_a$、$x(T)=x_b$ を課すと, 式中の $A$ と$B$ は次に求まる:

\begin{equation*} A=\frac{x_b-x_a \cos\omega T}{\sin\omega T},\quad B=x_a \tag{2} \end{equation*}

これらから一般解 $x(t)$ とその微分 $\dot{x}(t)$ とが得られるから, それらを用いてこの場合のラグランジアン $L$ は次となる:

\begin{align*} L(t)&=\frac{m}{2}\bigl(\dot{x}^{2}-\omega^{2}x^{2}\bigr)\\ &=\frac{m\omega^{2}}{2\sin^{2}\omega T}\left\{x_a^{2}\cos 2\omega(t-T)+x_b^{2}\cos 2\omega t -2x_a x_b \cos \omega(2t-T)\right\} \tag{3} \end{align*}

また, この時の作用 $S_{cl}$ は $L(t)$ を時間 $t$ で積分すれば良い.よって式 (2.9) が得られる:

\begin{equation*} S_{cl}=\int_0^{T} L(t)\,dt=\frac{m\omega}{2\sin \omega T}\Bigl[ (x_a^{2}+x_b^{2})\cos \omega T - 2x_a x_b \Bigr] \end{equation*}

以上の計算を手計算するのは,数学の苦手なうっかり八兵衛さんには大変である.よっていつもの様に Mathematica にやって貰ったので,その結果を示しておこう:

f:id:clrice9:20180129115347p:plain:w700

また, 前述した様にこの問題は D.F.Styer 氏が解答を示されている.そこでは, よりスマートな仕方で計算が行われているので, ずっと参考になるであろう.