問題 2-4 の解答例
原書の問題文には問題点があるため、校訂版を更に加筆したものとした． $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} $
Problem 2-4
Classically, the momentum is defined as
\begin{equation} p=\ppdiff{L}{\dot{x}} \tag{2.10} \end{equation}Show that the momentum at an final point $b$ is\begin{equation} p_b=\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_b}=+\ppdiff{S_{cl}}{x_b} \tag{2.11} \end{equation}while the momentum at an initial point $a$ is\begin{equation} p_a=\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_a}=-\ppdiff{S_{cl}}{x_a} \tag{2.11'} \end{equation}Hint : Consider the effect on Eq. (2.6) of a change in the end points.
(解答) まず変数 $u_i$ たちの関数 $F=F(u_1,\, u_2,\,\dotsb,\,u_n)$ に対して, その変数たちが微小な仮想的変位$\delta u_i$ をするとした場合の $F$ の１次変分 $\delta F$ は, 通常の微分 $dF$ と類似した次式に書けることを思い出そう：
\begin{equation}
\delta F =\ppdiff{F}{u_1}\delta u_1+\ppdiff{F}{u_2}\delta u_2+\dotsb+\ppdiff{F}{u_n}\delta u_n
\tag{1}
\end{equation}
これを古典的作用 $S_{cl}$ に当てはめる．$S_{cl}$ は明らかに端点 $x_a$ と $x_b$ の関数と見做せる．よって,
\begin{equation}
\delta S_{cl} =\ppdiff{S_{cl}}{x_a}\,\delta x_a + \ppdiff{S_{cl}}{x_b}\,\delta x_b
\tag{2}
\end{equation}
他方, 式 (2.6) から変分 $\delta S$ は次に書ける：
\begin{equation}
\delta S = \left[\delta x \ppdiff{L}{\dot{x}}\right]_{t_a}^{t_b}-\int_{t_a}^{t_b} \delta x\,
\left[ \odiff{t}\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)-\ppdiff{L}{x}\right]\,dt
\tag{2.6}
\end{equation}
また極値の経路 $\bar{x}(t)$ を与えるのは, 次の「古典的なラグランジュ方程式」であった：
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)-\ppdiff{L}{x}=0
\tag{2.7}
\end{equation}
従って, 系が極値経路である古典的経路 $\bar{x}(t)$ に沿って運動する場合には, 式 (2.6) の第2項目はゼロとなる．よって, 古典的経路に対する作用 $S_{cl}$ については次が言える：
\begin{align}
\delta S_{cl} &= \left.\delta x \ppdiff{L}{\dot{x}}\right|_{t_a}^{t_b}
=\delta x_b \left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{t_b} - \delta x_a \left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{t_a}\notag\\
&=-\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_a}\delta x_a+\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_b}\delta x_b
\tag{3}
\end{align}
式(2) 及び式(3) とを比較するならば、明らかに次が言える：
\begin{equation}
\ppdiff{S_{cl}}{x_a}=-\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_a},\qquad
\ppdiff{S_{cl}}{x_b}=+\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_b}
\end{equation}
よって, 目的の式 (2.11) と式 (2.11') とが示された．
原書の問題点というのは, 式 (2.11) が次となっていたのである：
\begin{equation}
\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_a}=\ppdiff{S_{cl}}{x_a}
\end{equation}
