問題 2-5 の解答例
この問題文も校訂版を修正したものにする． $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\oodiff#1#2{\frac{d #1}{d #2}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} $
Problem 2-5
Classically, the energy is defined as $$ E=\dot{x}p-L \tag{2.12} $$ Show that the energy at a final point is
\begin{equation} E_{b}=\dot{x}_b\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_b} - L(x_b) =- \ppdiff{S_{cl}}{t_b} \tag{2.13} \end{equation}while the energy at an initial point is\begin{equation} E_{a}=+ \ppdiff{S_{cl}}{t_b} \tag{2.13'} \end{equation}Hint : A change in the time of an end point requires a change in path, since all paths must be classical paths.
(解答) ヒントにあるように、端点の時刻が変化すると古典的経路も変化するので、古典的作用 $S_{cl}$ は端点の位置 $x_a$, $x_b$ と同時に時刻 $t_a$, $t_b$ の関数でもあると見做せる．よって古典的作用の微分 $dS_{cl}$ は次に書ける：
\begin{align}
dS_{cl}&=\ppdiff{S_{cl}}{x_a}d x_a+\ppdiff{S_{cl}}{x_b}d x_b+\ppdiff{S_{cl}}{t_{a}}d t_a+\ppdiff{S_{cl}}{t_{b}} d t_b\notag\\
&=\ppdiff{S_{cl}}{x_a}\dot{x}_a dt_a+\ppdiff{S_{cl}}{x_b}\dot{x}_b d t_b+\ppdiff{S_{cl}}{t_{a}}d t_a+\ppdiff{S_{cl}}{t_{b}} d t_b
\tag{1}
\end{align}
従って、
\begin{equation}
\oodiff{S_{cl}}{t_a}=\dot{x}_a \ppdiff{S_{cl}}{x_a}+\ppdiff{S_{cl}}{t_{a}}\ ,\qquad
\oodiff{S_{cl}}{t_b}=\dot{x}_b \ppdiff{S_{cl}}{x_b}+\ppdiff{S_{cl}}{t_{b}}
\tag{2}
\end{equation}
このとき前問の式 (2.11) 及び式 (2.11') より次が言える：
\begin{align}
&p_a=\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_a}=-\ppdiff{S_{cl}}{x_a}\quad\rightarrow\quad
\ppdiff{S_{cl}}{x_a}=-\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_a}\ ,\notag\\
&p_b=\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_b}=+\ppdiff{S_{cl}}{x_b}\quad\rightarrow\quad
\ppdiff{S_{cl}}{x_b}=\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_b}
\tag{3}
\end{align}
よって、式(2) は次に書ける：
\begin{equation}
\oodiff{S_{cl}}{t_a}=-\dot{x}_a \left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_a} + \ppdiff{S_{cl}}{t_{a}}\ ,\qquad
\oodiff{S_{cl}}{t_b}=\dot{x}_b \left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_b} +\ppdiff{S_{cl}}{t_{b}}
\tag{4}
\end{equation}
他方、作用の定義式から次も言える：
\begin{equation}
S_{cl}=\int_{t_a}^{t_b} L(x, t)\,dt\quad \rightarrow \quad
\oodiff{S_{cl}}{t_{a}}=-L(x_a, t_a),\quad \oodiff{S_{cl}}{t_{b}}=L(x_b, t_b)
\tag{5}
\end{equation}
以上の式(4) 及び式(5) とから,
\begin{align}
\oodiff{S_{cl}}{t_a}&=-L(x_a, t_a)=-\dot{x}_a\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_a} + \ppdiff{S_{cl}}{t_{a}} \ , \tag{6}\\
\oodiff{S_{cl}}{t_b}&=L(x_b, t_b)=\dot{x}_b \left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_b} +\ppdiff{S_{cl}}{t_{b}}
\tag{7}
\end{align}
この式(6) 及び式(7) に於いて各項を移項することで、端点でのエネルギー $E_b$ と $E_a$ は求めることが出来る：
\begin{align}
E_a&=\dot{x}_a\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_a} - L(x_a, t_a) =+ \ppdiff{S_{cl}}{t_{a}}\ ,\tag{2.13'}\\
E_b&=\dot{x}_b\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_b} - L(x_b, t_b) =-\ppdiff{S_{cl}}{t_{b}}
\tag{2.13}
\end{align}
原書では、式 (2.12) の右辺の符号が逆に書かれているという問題点があったからである： $$ E=L-\dot{x}p \tag{2.12} $$
