問題 3-2 の解答例
解答に必要なのは微分することだけだ。問題自体は多くの問題の中で最も易しい方である．
Problem 3-2
Show by substitution that the free-particle kernel $K(b,a)$ satisfies the differential equation $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} $
\begin{equation}
-\frac{\hbar}{i}\ppdiff{K(b,a)}{t\_b}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\Bppdiff{K(b,a)}{x\_b}
\tag{3-18}
\end{equation}
whenever $t_b$ is greater than $t_a$.
(解答)
自由粒子の核の式(3-3)に於いて $t\equiv t_b-t_a>0$，$x\equiv x_b-x_a$ とおく．または, 始点 $a$ は問題には関係しないので, 自由粒子核は始点を原点 $(t=0,x_a=0)$ に取った式(3-7)を採用して良い．従って,
\begin{equation}
K(b,a)=\left(\frac{m}{2\pi i\hbar t\_b}\right)^{1/2}\exp\left(i\frac{m x_b^{2}}{2\hbar t_b}\right)
=\frac{C}{\sqrt{t_b}}\exp\left(i\frac{m x_b^{\,2}}{2\hbar t_b}\right)
\tag{1}
\end{equation}
ただしとする．すると,
\begin{align}
\ppdiff{K}{t_{b}}&=\left(-\frac{1}{2t_{b}}-\frac{i m x_{b}^{2}}{2\hbar t_{b}^{2}}\right) K(b,a)\notag\\
\rightarrow&\quad i\hbar\ppdiff{K}{t_{b}}=\left(-\frac{i\hbar}{2t_{b}}+\frac{m x_{b}^{2}}{2t_{b}^{2}}\right) K(b,a),\tag{2}\\
\ppdiff{K}{x_{b}}&=\left(\frac{i m x_{b}}{\hbar t_{b}}\right) K(b,a),\notag\\
\Bppdiff{K}{x_{b}}&=\pdiff{x_{b}}\left(\ppdiff{K}{x_{b}}\right)=\left(\frac{i m}{\hbar t_{b}}
- \frac{m^{2}x_{b}^{2}}{\hbar^{2} t_{b}^{2}}\right) K(b,a),\notag\\
\rightarrow&\quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\Bppdiff{K}{x_{b}}=\left(-\frac{i\hbar}{2t_{b}}+\frac{m x_{b}^{2}}{2t_{b}^{2}}\right) K(b,a)
\tag{3}
\end{align}
式(2)と式(3)の右辺は一致している．よって,自由粒子の波動関数に対するシュレディンガー方程式と同型な次式が成立すると言える：
\begin{equation}
i\hbar\pdiff{t_b}K(b,a)=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x_b^{2}}K(b,a)
\tag{3.18}
\end{equation}
「振幅$K(b,a)$がシュレディンガー方程式を満たす」ことは, 自由粒子の場合だけでなく一般的な場合にも言えることが, 本文の式(4-25)に示されているので参照されたい．
