問題 3-8 の解答例
Problem 3-8
For a harmonic oscillator the lagrangian is $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} $
\begin{equation}
L=\frac{m}{2}\dot{x}^{2}-\frac{m\omega^{2}}{2} x^{2}
\tag{3.58}
\end{equation}
Show that the resulting kernel is (see Prob. 2-2)
\begin{equation}
K(b,a)=F(T)\exp\left\{\frac{i m\omega}{2\hbar \sin \omega T}\left[\left(x_a^{2}+x_b^{2}\right)\cos\omega T
-2x_a x_b \right]\right\}
\tag{3.59}
\end{equation}
where $T=t_b-t_a$. Note that the multiplicative function $F(T)$ has not been explicitly worked out. It can be obtained by other means, and for the harmonic oscillator it is (see Sec. 3-11)
\begin{equation}
F(T)=\left(\frac{m}{2\pi i\hbar \sin \omega T}\right)^{1/2}
\tag{3.60}
\end{equation}
(解答) 式(3.58)の $x$ を $x=\bar{x}+y$ として表わすと,
\begin{align}
L&=\frac{m}{2}\left(\dot{\bar{x}}+\dot{y}\right)^{2}-\frac{m\omega^{2}}{2}\left(\bar{x}+y\right)^{2}\notag\\
&=\left(\frac{m}{2}\dot{\bar{x}}^{2}-\frac{m\omega^{2}}{2}\bar{x}^{2}\right)+\left(m\dot{\bar{x}}\dot{y}
-m\omega^{2}\bar{x}y\right)+\left(\frac{m}{2}\dot{y}^{2}-\frac{m\omega^{2}}{2}y^{2}\right)
\tag{1}
\end{align}
これを時間積分して作用 を求める．第１項は古典的作用 $S_{c\,l}$ に相当する．そして本文の中で述べられているように「 $y$ については2次の項だけが残る」．よって, 本文の式(3.49)と式(3.50)及び式(3.51)に相当する式は次となる：
\begin{align}
S[x(t)]&=S_{c\,l}[b,a]+\int_{t_a}^{t_b}dt\,\left(\frac{m}{2}\dot{y}^{2}-\frac{m\omega^{2}}{2}y^{2}\right)\tag{2}\\
K(b,a)&= e^{iS_{c\,l}/\hbar}\int_0^{0}\mathscr{D}y(t)\,\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\int_{t_a}^{t_b} dt\,\left(
\frac{m}{2}\dot{y}^{2}-\frac{m\omega^{2}}{2}y^{2}\right)\right\}\notag\\
&=e^{iS_{c\,l}/\hbar}F(t_b,t_a)
\tag{3}
\end{align}
このときの古典的作用 $S_{c\,l}[b,a]$ は, 問題2-2 の式(2.9)から次である：
\begin{equation}
S_{c\,l}=\frac{m\omega}{2\sin \omega T}\left[\left(x_{a}^{2}+x_{b}^{2}\right)\cos\omega T -2x_a x_b\right]
\tag{4}
\end{equation}
更に, 時間因子 $F(t_b,t_a)$ は後の § 3-11 「フーリエ級数による評価法」に於いて式(3.93)として求めらる．$t_a=0,\,t_b=T$ とするとそれは次である：
\begin{equation}
F(t_b,t_a)=F(T)=\left(\frac{m\omega}{2\pi i\hbar \sin \omega T}\right)^{1/2}
\tag{5}
\end{equation}
以上の式(3),式(4),式(5)から, 核 $K(b,a)$ は次で与えられることになる：
\begin{align}
K(b,a)&=F(t_b,t_a)\exp\left\{\frac{i}{\hbar}S_{c\, l}[b,a]\right\}\notag\\
&=\left(\frac{m\omega}{2\pi i\hbar \sin \omega T}\right)^{1/2}\exp\left\{
\frac{i m\omega}{2\hbar \sin \omega T}\left[\left(x_a^{2}+x_b^{2}\right)\cos\omega T -2x_a x_b\right]\right\}
\tag{6}
\end{align}
