ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

問題 5-4 の解答例

Problem 5-4

Suppose the wave function for a system is $\psi(x)$ at time $t_1$. Suppose further that the behavior of the system is described by the kernel $K(x_2,t_2; x_1,t_1)$ for motions in the interval $t_2\ge t \ge t_1$. Show that the probability that the system is found to be in the state $\chi(x)$ at time $t_2$ is given by the square of the integral $ \def\ket#1{|#1\rangle} $

\begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty} dx_2 \int_{-\infty}^{\infty} dx_1 \chi^{*}(x_2)K(x_2,t_2;x_1,t_1)\psi(x_1) \end{equation*} We call this integral the transition amplitude to go from state $\psi(x)$ to state $\chi(x)$.

( 解答 ) 式 (5-1) から,「初期時刻 $t_1$ での波動関数が $\psi(x_1)$ で与えられる粒子が, 後の時刻 $t$ に位置 $x$ に到達する振幅 $\phi(x)$」は次式で与えられる: $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} $

\begin{equation} \phi(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\,K(x,t ; x_1,t_1)\,\psi(x_1) \label{eq1} \end{equation}

また, 式 (5-31) から「粒子が状態 $f(x)$ に在るときに, 状態 $g(x)$ に存在する振幅」は次で与えられた:

\begin{equation} \psi(G)=\int_{-\infty}^{\infty} dx\,g^{*}(x)f(x) \label{eq2} \end{equation}

よって, 「初期時刻 $t_1$ での波動関数が $\psi(x_1)$ で与えられる粒子が, 後の時刻 $t_2$ に位置 $x_2$ で状態 $\chi(x_2)$ に存在する振幅」すなわち遷移振幅 $\BraKet{\chi}{1}{\psi}$は, 式\eqref{eq2} の $f(x)$ として式\eqref{eq1} の $\phi(x)$ を用い, また $g(x)$ として $\chi(x)$ を用いることにより次で与えられる:

\begin{align} \BraKet{\chi}{1}{\psi} &=\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\,\chi^{*}(x_2)\phi(x_2)=\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\,\chi^{*}(x_2)\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\,K(x_2,t ; x_1,t_1)\,\psi(x_1)\notag\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\,\chi^{*}(x_2)\,K(x_2,t_2 ; x_1, t_1)\,\psi(x_1) \label{eq3} \end{align}

そして, この粒子系が時刻 $t_2$ に状態 $\chi$ として観測される確率 $P$ は, この遷移振幅 $\BraKet{\chi}{1}{\psi}$ の絶対値の二乗で与えられることになる:

\begin{equation} P=|\BraKet{\chi}{1}{\psi}|^{2}=\left| \int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\,\chi^{*}(x_2)\,K(x_2,t_2 ; x_1, t_1)\,\psi(x_1)\right|^{2} \label{eq4} \end{equation}