問題 5-10 の解答例
Problem 5-10
Suppose the quantity $A$ corresponds to the $x$ coordinate of position. Show that the correct formula for the expected value of $x$ results when the function $G_A(x,x^{'})$ is taken to be $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} $
and the operator corresponding to $x$ is simply multiplication by $x$, that is,
( 解答 ) 物理量 $A$ の「期待値」 (expected value)」は, 式 (5-40) $\sim$ 式 (5-43) そして式 (5-46) から, 次式で求められる:
ただし, $F_{a, b, c, \dotsb}$ は状態の「$A,B,C,\dotsb$ 表示」と呼ばれ, また波動関数 $f(\mb{r})$ は通常の「座標表示」すなわち「$x,y,z$ 表示」に相当するのであった.さらに, $\mathcal{A}$ は波動関数 $f$ に作用する線形演算子である. そこで, 式 (5-46) の右辺に於いて式 (5-51) を $G_A(\mb{r}, \mb{r}^{'})$ として用いるならば,
ただし, 波動関数 $f(x,y,z)$ は $y$ 方向及び $z$ 方向で規格化されていると仮定し, それを $y$ 及び $z$ 方向について積分した後の形を $f(x)$ とした. 式 \eqref{1} と式 \eqref{2} との比較から, この結果式 \eqref{2} が「 $x$ の期待値」$\langle x \rangle$ であることは明らかである.従って,「$x$ に相当する位置演算子 $\mathscr{X}$ は, 単に $x$ を掛け合わせることである」と言える.すなわち,
( 参考 ) 本文の式 (5-43) は, 今村:「物理とグリーン関数」の § 10. 1 演算子 の最初に登場する式 (10.1.1) と同じものである.従って, 関数 $G_A(\mb{r},\mb{r}^{'})$ は今村の2点関数 $M(\mb{r},\mb{r}^{'})$ に相当している:
詳しくは, 前のブログ記事「グリーン関数について part 1 」を参照してほしい.