ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

問題 5-10 の解答例

Problem 5-10

Suppose the quantity $A$ corresponds to the $x$ coordinate of position. Show that the correct formula for the expected value of $x$ results when the function $G_A(x,x^{'})$ is taken to be $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} $

\begin{equation} G_x(x,x^{'})=x\,\delta(x-x^{'})\,\delta(y-y^{'})\,\delta(z-z^{'}) \tag{5-51} \end{equation}

and the operator corresponding to $x$ is simply multiplication by $x$, that is,

\begin{equation} \mathscr{X}\,f(x)= x\,f(x) \tag{5-52} \end{equation}

( 解答 ) 物理量 $A$ の「期待値」 (expected value)」は, 式 (5-40) $\sim$ 式 (5-43) そして式 (5-46) から, 次式で求められる:

\begin{align} \langle A \rangle&=\sum_a\sum_b\sum_b\,\dotsb a\,\left| F_{a, b, c,\dotsb}\right|^{2}\tag{5-40}\\ \langle A \rangle&=\int_{-\infty}^{\infty} d\mb{r}\,f^{*}(\mb{r})\,R(\mb{r}), \quad R(\mb{r})=\int_{-\infty}^{\infty} d\mb{r}^{'}\,G_A(\mb{r}, \mb{r}^{'})f(\mb{r}^{'})\tag{5-42,43}\\ \langle A \rangle&=\int_{-\infty}^{\infty} d\mb{r}\,f^{*}(\mb{r})\mathcal{A}\,f(\mb{r})\label{1}\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} d\mb{r} \int_{-\infty}^{\infty} d\mb{r}^{'}\,f^{*}(\mb{r})G_A(\mb{r}, \mb{r}^{'})f(\mb{r}^{'}) \tag{5-46} \end{align}

ただし, $F_{a, b, c, \dotsb}$ は状態の「$A,B,C,\dotsb$ 表示」と呼ばれ, また波動関数 $f(\mb{r})$ は通常の「座標表示」すなわち「$x,y,z$ 表示」に相当するのであった.さらに, $\mathcal{A}$ は波動関数 $f$ に作用する線形演算子である. そこで, 式 (5-46) の右辺に於いて式 (5-51) を $G_A(\mb{r}, \mb{r}^{'})$ として用いるならば,

\begin{align} &\int d^{3}\mb{r} \int d^{3}\mb{r}^{'}\,f^{*}(\mb{r})G_x(\mb{r},\mb{r}^{'})\,f(\mb{r}^{'})\notag\\ &=\iiint_{-\infty}^{\infty} dx\,dy\,dz\iiint_{-\infty}^{\infty} dx^{'}dy^{'} dz^{'}\, f^{*}(x,y,z)\,x\,\delta(x-x^{'})\,\delta(y-y^{'})\,\delta(z-z^{'})\,f(x^{'},y^{'},z^{'})\notag\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} dx\int_{-\infty}^{\infty} dy \int_{-\infty}^{\infty} dz\,f^{*}(x,y,z)\,x\,f(x,y,z)\notag\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} dx\,f^{*}(x)\,x\,f(x)=\langle x\rangle \label{2} \end{align}

ただし, 波動関数 $f(x,y,z)$ は $y$ 方向及び $z$ 方向で規格化されていると仮定し, それを $y$ 及び $z$ 方向について積分した後の形を $f(x)$ とした. 式 \eqref{1} と式 \eqref{2} との比較から, この結果式 \eqref{2} が「 $x$ の期待値」$\langle x \rangle$ であることは明らかである.従って,「$x$ に相当する位置演算子 $\mathscr{X}$ は, 単に $x$ を掛け合わせることである」と言える.すなわち,

\begin{equation} \mathscr{X}\,f(x,y,z)= x\,f(x,y,z) \end{equation}

( 参考 ) 本文の式 (5-43) は, 今村:「物理とグリーン関数」の § 10. 1 演算子 の最初に登場する式 (10.1.1) と同じものである.従って, 関数 $G_A(\mb{r},\mb{r}^{'})$ は今村の2点関数 $M(\mb{r},\mb{r}^{'})$ に相当している:

\begin{equation} R(x)=\int G_A(x,x^{'})\,f(x^{'})\,dx^{'}\quad\leftrightarrow\quad g(\mb{r})=\int M(\mb{r},\mb{r}^{'})\,f(\mb{r}^{'})\,d\mb{r}^{'} \end{equation}

詳しくは, 前のブログ記事「グリーン関数について part 1 」を参照してほしい.