電磁気学に於けるゲージ変換
前の記事と同じく, 「超伝導入門」の § 1. 2. 4 で「波動関数を振幅と位相に分けて表わすことによる議論」を理解するために, J.J. Sakurai の § 2.6 「電磁気学に於けるゲージ変換」の部分を抜粋してまとめておく．
電磁気学に於けるゲージ変換
時間に依らないスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャル$\phi(\mathbf{x})$ 及び $\mathbf{A}(\mathbf{x})$ から導くことの出来る電場と磁場を考える： $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\ket#1{|#1\rangle} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\PKB#1#2{|#1\rangle\langle #2|} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} $
\begin{equation}
\mb{E} = -\nabla \phi,\quad \mb{B} = \nabla\times\mb{A}
\label{1}
\end{equation}
電磁場中に在る電荷 $e$ の粒子を表わすハミルトニアンは, 古典物理学から次のようになる：
\begin{equation}
H=\frac{1}{2m}\left( \mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}+e\phi
\label{2}
\end{equation}
ただし電子では $e<0$ である．すなわち $-e$ で置き換えることになるので注意する．量子力学では $\phi$ と $\mb{A}$ は, 荷電粒子の位置演算子 $\mb{x}$ の関数である．$\mb{p}$ と $\mb{A}$ とは交換しないので, 式\eqref{2} を解釈する際に, 少し注意が必要である．最も安全な手続きは次のように書くことである：
\begin{equation}
\left( \mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}\,\Rightarrow\,
\mb{p}^{2}-\left(\frac{e}{c}\right)\big(\mb{p}\cdot\mb{A}+\mb{A}\cdot\mb{p}\big)+\left(\frac{e}{c}\right)^{2}\mb{A}^{2}
\label{3}
\end{equation}
この形にすれば式\eqref{2}のハミルトニアンはエルミート的である．
次に $\phi$ と $\mb{A}$ が存在するときのシュレディンガーの波動方程式を調べる．式 \eqref{2} に於いて $\mb{p}\to-i\hbar\nabla$ の置き換えをしたものをハミルトニアンとすればよい．それを $\bra{\mb{x}^{'}}$ と $\ket{\alpha,t}$ の間で挟む．注意を払う必要がある唯一の項は次である：
\begin{align}
&\bra{\mb{x}^{'}} \left[ \mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}(\mb{x})\right]^{2}\ket{\alpha,t}
=\bra{\mb{x}^{'}} \left[ -i\hbar\nabla-\frac{e}{c}\mb{A}(\mb{x})\right]\left[ -i\hbar\nabla-\frac{e}{c}\mb{A}(\mb{x})\right]\ket{\alpha,t}\notag\\
&= \left[ -i\hbar\nabla^{'}-\frac{e}{c}\mb{A}(\mb{x}^{'})\right]\bra{\mb{x}^{'}}\left[ -i\hbar\nabla-\frac{e}{c}\mb{A}(\mb{x})\right]\ket{\alpha,t}\notag\\
&=\left[ -i\hbar\nabla^{'}-\frac{e}{c}\mb{A}(\mb{x}^{'})\right]\left[ -i\hbar\nabla^{'}-\frac{e}{c}\mb{A}(\mb{x}^{'})\right]\BK{\mb{x}^{'}}{\alpha,t}
\label{4}
\end{align}
このとき最初のカッコ内の $\nabla^{'}$ は, 第 2 因子中の $\mb{A}(\mb{x}^{'})$ と第 3 因子の $\BK{\mb{x}^{'}}{\alpha,t}$ の両方に作用することに注意する．その結果, $\psi(\mb{x}^{'},t)=\BK{\mb{x}^{'}}{\alpha,t}$ とすると次のような「シュレディンガー方程式」を得る：
\begin{equation}
i\hbar\pdiff{t}\psi(\mb{x}^{'},t)=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\left[\nabla^{'}-\frac{i e}{\hbar c}\mb{A}(\mb{x}^{'})\right]\left[
\nabla^{'}-\frac{i e}{\hbar c}\mb{A}(\mb{x}^{'})\right]\psi(\mb{x}^{'},t)+e\phi(\mb{x}^{'})\psi(\mb{x}^{'},t)
\label{5}
\end{equation}
これはポテンシャル $\phi$ と $\mb{A}$ が存在しない場合のシュレディンガー方程式に於いて, 次の置き換えをしたものになっていることに注意する：
\begin{equation}
\nabla\quad\rightarrow\quad \nabla-\frac{i e}{\hbar}\mb{A}
\label{6}
\end{equation}
そこで, 前のブログ記事の式 (3) の途中の $\nabla$ に上式 \eqref{6} の置き換えをすると, 「確率の流れ」の形が違う次のような「連続の方程式」が得られることが分かる：
\begin{align}
&\ppdiff{\rho}{t}+\nabla\cdot\mb{j}^{'}=0,\label{7}\\
\text{where} &\quad \mb{j}^{'}=\frac{\hbar}{m}\text{Im}\,\big[ \psi^{*}\nabla\psi \big]-\frac{e}{mc}\mb{A}|\psi|^{2}
\label{8}
\end{align}
また, 前のブログ記事と同様に波動関数 $\psi$ を確率密度 $\rho$ と位相因子 $S$ で表してみる：
\begin{equation}
\psi=\sqrt{\rho}\,\exp\left(i\frac{S}{\hbar}\right)
\label{9}
\end{equation}
すると, 前のブログ記事の式 (6) に相当した, 「確率密度の流れ」$\mb{j}^{'}$ の別の形の式が得られる：
\begin{equation}
\mb{j}^{'}=\frac{\rho}{m}\nabla S -\frac{e}{mc}\mb{A}\,\rho=\frac{\rho}{m}\left(\nabla S -\frac{e}{c}\mb{A}\right)
\label{10}
\end{equation}
この形は「超伝導や磁束の量子化などの議論をする際に便利である」ことが分かる．また, $\mb{j}^{'}$ の空間積分は, 前のブログ記事の式 (4) に於いて正準運動量 $\mb{p}$ を「運動学的運動量」*1で置き換えたものになる：
\begin{equation}
\int \mb{j}^{'}\,d^{3}x^{'} = \frac{\ds{\langle\, \mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\,\rangle}}{m}
\label{11}
\end{equation}
以上を基にして「超伝導入門」の § 1. 2. 4 の式 (1.13) を考えてみよう．前述のブログ記事のごとく, 波動関数として式 \eqref{6} の代わりに $\psi(\mb{r})=|\psi(\mb{r})|\,e^{i\phi(\mb{r})}$ としているので, 式 \eqref{6} の $\rho$ と $S$ は次とする：
\begin{equation}
\rho=|\psi(\mb{r})|^{2}=n,\quad S=\hbar\,\phi(\mb{r})
\label{12}
\end{equation}
粒子として「クーパー・ペア」を考える．「電子 1 個に対してクーパーペアは半分しか存在していない」ので, 対粒子の密度 $\rho^{*}$ を電子密度 $n=\rho$ で表わすと $n=2\rho^{*}$ となる．さらにクーパーペアの電荷 $e^{*}$ と質量 $m^{*}$ を $e^{*}=-2e$, $m^{*}=2m_e$ と置く．電流密度 $\mb{j}_e^{'}$ は, 確率の流れの式 \eqref{10} に電荷 $e^{*}=-2e$ を掛け合わせることで表わすことが出来る．さらに注意すべきは, 式 \eqref{10} 中の電荷 $e$ をそのまま用いてはいけないことだ！．それも $e^{*}=-2e$ で置き換える．以上を考慮すれば,「超伝導入門」の式 (1.13) を得ることが出来る：
\begin{align}
\mb{j}^{'}_e&=e^{*}\times\mb{j}^{'}=e^{*}\times\left(\frac{\rho^{*}}{m^{*}}\nabla S -\frac{e^{*}}{m^{*} c}\mb{A}\,\rho^{*}\right)
=\frac{e^{*}}{m^{*}}\rho^{*}\nabla S -\frac{e^{*\,2}}{m^{*} c}\mb{A}\,\rho^{*}\notag\\
&=\frac{e^{*}\hbar}{m^{*}}\rho^{*}\nabla\, \phi -\frac{e^{*\,2}}{m^{*} c}\mb{A}\,\rho^{*}
=\frac{e^{*}\hbar}{m^{*}}\frac{n}{2}\nabla\, \phi -\frac{e^{*\,2}}{m^{*} c}\mb{A}\frac{n}{2}\notag\\
&=\frac{-2e\hbar}{2m_e}\frac{|\psi(\mb{r})|^{2}}{2}\nabla\,\phi -\frac{(-2e)^{2}}{2m_e c}\mb{A}\frac{|\psi|^{2}}{2}\notag\\
&=-\frac{e\hbar}{2m_e}|\psi|^{2}\nabla\phi -\frac{e^{2}}{m_e c}|\psi|^{2}\mb{A}
\label{13}
\end{align}
*1: ファインマンによれば, 「力学的運動量」(dynamical momentum) $\mb{P}$ は「運動学的運動量」(kinetic momentum) $m\mb{v}$ と, $\mb{P}=m\mb{v}+(e/c)\mb{A}$ の関係があり, 「一般化運動量」または「正準運動量」に相当するのはこの力学的運動量の方であって, 量子力学に移行するとき演算子 $\hat{\mb{P}}=-i\hbar\nabla$ となるのであった．然しながら, J.J.Sakurai では$m\mb{v}$ の方を「力学的運動量」と呼び $\Pi=\mb{P}-(e/c)\mb{A}$ と表していたのであった．ここではファインマンの呼び方に従うことにする．
