ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

S-行列について

Ginzburg-Landau 理論には「S-行列」や「場の量子論に於ける Green 関数」が出現するようである.そこでまずは「S-行列」について, 砂川:「量子力学」から関係する部分を抜粋してまとめておこう.


S-行列

2 個の異なる粒子が, 初めは十分に遠くに離れていて粒子間に相互作用は無く, 各々は独立に自由運動をしているとする.時間の経過とともに 2 粒子は互いに近づいて来て, 相互作用を及ぼし合って衝突し, その後は再び遠ざかって自由な粒子として散乱されて行くとする.このような散乱過程を時間的に追跡するには「相互作用表示」を用いると見通しが良い.全系のハミルトニアンを $\hat{H}=\hat{H}_0+\hat{V}$ としよう.ただし $\hat{H}_0$ は 2 個の自由粒子ハミルトニアンであり $\hat{V}$ はその間の相互作用である.相互作用表示での基本方程式である「Tomonaga-Schwinger 方程式」は次で与えられる: $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\ket#1{|#1\rangle} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\PKB#1#2{|#1\rangle\langle #2|} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} $

\begin{equation} i\hbar\frac{d \psi_I(t)}{dt}=\hat{V}_I(t)\ket{\psi_I(t)},\quad\text{where}\quad \hat{V}_I(t)=e^{i\hat{H}_0t/\hbar} \,\hat{V} \,e^{-i\hat{H}_0t/\hbar} \label{s1} \end{equation}

時刻 $t'$ と時刻 $t$ に於ける相互作用表示の状態ベクトルを結ぶユニタリ演算子を $\hat{U}(t,t')$ とし次とおく:

\begin{equation} \ket{\psi_I(t)}=\hat{U}(t,t')\ket{\psi_I(t')} \label{s2} \end{equation}

すると, 演算子 $\hat{U}(t,t')$ は次を満たす:

\begin{align} &i\hbar\ppdiff{\hat{U}(t,t')}{t}=\hat{V}_I(t)\hat{U}(t,t'),\ \rightarrow\ \hat{U}(t,t')=1-\mfrac{i}{\hbar}\int_{t^{'}}^{t}\hat{V}_I(t^{''})\hat{U}(t^{''},t')\,dt^{''}, \label{s3}\\ &i\hbar\ppdiff{\hat{U}(t,t')}{t'}=-\hat{U}(t,t')\hat{V}_I(t'),\ \rightarrow\ \hat{U}(t,t')=1-\mfrac{i}{\hbar}\int_{t^{'}}^{t}\hat{U}(t,t^{''})\hat{V}_I(t^{''})\,dt^{''} \label{s4} \end{align}

このときの式\eqref{s4} は Feynman の式(6-26)に等価であることに注意しよう.

衝突前の初状態の時刻は,無限の過去の時刻 $t'=-\infty$ にとることが出来る.その初期時刻 $t'=-\infty$ に於ける状態は, 上述から自由ハミルトニアン $H_0$ の固有状態を選ぶことが出来る:

\begin{equation} \ket{\psi(-\infty)}_I = \ket{\Phi_i},\quad \hat{H}_0\ket{\Phi_i}=E_i\ket{\Phi_i} \label{s5} \end{equation}

時刻 $t$ に於ける状態ベクトル $\ket{\Psi(t)}_I$ は, ユニタリー演算子を $\hat{U}(t,t')$ として次となる:

\begin{equation} \ket{\phi(t)}_I=\hat{U}(t,-\infty)\ket{\psi(-\infty)}_I=\hat{U}(t,-\infty)\ket{\Phi_i} \label{s6} \end{equation}

また, 衝突が終わった後, 互いに遠ざかった時刻 $t=+\infty$ での状態は次で与えられる:

\begin{equation} \ket{\psi(+\infty)}_I=\hat{U}(+\infty,-\infty)\ket{\Phi_i} \label{s7} \end{equation}

この状態ベクトル $\ket{\psi(+\infty)}_I$ を $\hat{H}_0$ の固有ベクトルの完全系 $\{\ket{\Phi_j}\}$ で展開し, その展開係数を $S_{j,i}$ とすれば次のように書ける:

\begin{equation} \ket{\phi(+\infty)}_I=\sum_j S_{j,i}\ket{\Phi_j} \label{s8} \end{equation}

よって, 終状態 $\ket{\phi(+\infty)}_I$ に於いて, シュレディンガー方程式 $\hat{H}_0\ket{\Phi_f}=E_f\ket{\Phi_f}$で与えられる状態 $\ket{\Phi_f}$ に系を見い出す確率振幅は次となる:

\begin{equation} \BK{\Phi_f}{\phi(+\infty)}_I=\bra{\Phi_f}\hat{U}(+\infty,-\infty)\ket{\Phi_i}=\sum_j S_{j,i}\BK{\Phi_f}{\Phi_i}=\sum_j S_{j,i}\delta_{f,i}=S_{f,i} \label{s9} \end{equation}

すなわち,

$S_{f,i}=\bra{\Phi_f}\hat{U}(+\infty,-\infty)\ket{\Phi_i}$ は, 時刻 $t=-\infty$ に $\hat{H}_0$ の固有状態 $\ket{\Phi_i}$ にあった系が相互作用 $\hat{V}_I(t)$ の作用によって時刻 $t=+\infty$ で固有状態 $\ket{\Phi_f}$ に転移する確率振幅を与える.この $S_{j,i}$ を「S-行列」または「散乱の行列」(scattering matrix)と言い, また演算子 $\hat{S}=\hat{U}(+\infty,-\infty)$ を「S-演算子」と言う.

以上の議論に「断熱的な相互作用のスイッチオフ」と呼ばれる操作をして, 入射粒子と射出粒子を波束で表現した場合に修正する.それには式 \eqref{s1} の右辺の相互作用を次のような置き換えをすることで実行できる:

\begin{equation} \hat{V}_I(t)\quad\rightarrow\quad \exp\left(-\varepsilon\mfrac{|t|}{\hbar}\right)V_I(t) \label{s10} \end{equation}

ただし $\varepsilon$ は無限小の正のパラメータであり, 全ての計算が終了した段階で $\varepsilon\to0$ の極限をとるものとする.この置き換えをしたとき, 式 \eqref{s3} で $t'\to-\infty$ としたときの演算子 $\hat{U}(t,-\infty)$ の満たす積分方程式は次となる:

\begin{equation} \hat{U}(t,-\infty)=1-\mfrac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{t}e^{-\varepsilon |t'|/\hbar}\hat{V}_I(t')\hat{U}(t',-\infty)\,dt' \label{s11} \end{equation}

ただし, 上式では定義された演算子 $\hat{U}(t,-\infty)$ が右辺にも出現していて都合が悪い.この不都合さを克服するために, 式 \eqref{s3} でなく, 式 \eqref{s4} の積分方程式で $t'=\mp\infty$ と置き, 右辺に収束因子を追加したものとする:

\begin{equation} \hat{U}(t,\mp\infty)\equiv 1-\mfrac{i}{\hbar}\int_{\mp\infty}^{t}\hat{U}(t,t')e^{-\varepsilon|t'|/\hbar} \hat{V}_I(t')\,dt',\label{s12} \end{equation}

このエルミート共役は次となる:

\begin{equation} \hat{U}^{\dagger}(t,\mp\infty)=\hat{U}(\pm\infty,t)\equiv 1+\mfrac{i}{\hbar} \int_{\pm\infty}^{t}e^{-\varepsilon|t'|/\hbar}\hat{V}_I(t') \hat{U}(t',t)\,dt' \label{s13} \end{equation}

次に式 \eqref{s12} の演算子を初状態 $\ket{\Phi_i}$ に掛けた状態ベクトル $\ket{\Psi_i^{(\pm)}}$ を考える:

\begin{equation} \ket{\Psi_i^{(\pm)}}\equiv \hat{U}(0,\mp\infty)\ket{\Phi_i} \label{s14} \end{equation}

この $\ket{\Psi_i^{(\pm)}}$ は時刻 $t=0$ での散乱状態に相当する.また, 初状態 $\ket{\Phi_i}$ から散乱状態 $\ket{\Psi_i^{(\pm)}}$ を作り出す演算子 $\hat{U}(0,\mp\infty)$ は「Møllerの波動演算子」という.具体的に式 \eqref{s12} の $ \hat{U}(0,\mp\infty)$ を用いると次を得る:

\begin{align} \ket{\Psi_i^{(\pm)}}&=\left(1-\mfrac{i}{\hbar}\int_{\mp\infty}^{0} dt'\,\hat{U}(0,t')e^{-\varepsilon|t'|/\hbar}\hat{V}_I(t')\right)\ket{\Phi_i}\notag\\ &=\ket{\Phi_i}-\mfrac{i}{\hbar}\int_{\mp\infty}^{0} dt'\,e^{-\varepsilon|t'|/\hbar} e^{i\hat{H}t^{'}/\hbar}\hat{V} e^{-i E_i t^{'}/\hbar}\ket{\Phi_i}\notag\\ &=\ket{\Phi_i}-\mfrac{i}{\hbar}\int_{\mp\infty}^{0} dt'\,e^{-i(E_i-\hat{H})t^{'}/\hbar-\varepsilon|t'|/\hbar}\hat{V}\ket{\Phi_i}\notag\\ &=\ket{\Phi_i}+\mfrac{1}{E_i-\hat{H}\pm i\varepsilon}\hat{V}\ket{\Phi_i} \label{s15} \end{align}

ここで, 理論の展開に大変有益な演算公式を与える.任意の交換不能な 2 個の演算子 $\hat{A}$ と $\hat{B}$ の各々が逆演算子を持つものとし, それらを $\hat{A}^{-1}=1/\hat{A}$ 及び $\hat{B}^{-1}=1/\hat{B}$ と書くことにする.このとき次が成り立つ:

\begin{equation} \mfrac{1}{\hat{A}}-\mfrac{1}{\hat{B}}=\mfrac{1}{\hat{A}}\big(\hat{B}-\hat{A}\big)\mfrac{1}{\hat{B}} =\mfrac{1}{\hat{B}}\big(\hat{B}-\hat{A}\big)\mfrac{1}{\hat{A}} \label{s16} \end{equation}

一見すると奇妙な式と思えるので, これが成り立つことを, 本文の説明を参考にして簡単に示しておこう.「一般的に演算子は不可換である」ことに注意して展開するだけである:

\begin{align*} &\mfrac{1}{\hat{A}}\big(\hat{B}-\hat{A}\big)\mfrac{1}{\hat{B}} =\mfrac{1}{\hat{A}}\cdot\left(\hat{B}\cdot\mfrac{1}{\hat{B}}\right)-\left(\mfrac{1}{\hat{A}}\cdot\hat{A}\right) \cdot\mfrac{1}{\hat{B}}=\mfrac{1}{\hat{A}}-\mfrac{1}{\hat{B}}\\ &\mfrac{1}{\hat{B}}\big(\hat{B}-\hat{A}\big)\mfrac{1}{\hat{A}} =\left(\mfrac{1}{\hat{B}}\cdot\hat{B}\right)\cdot\mfrac{1}{\hat{A}}-\mfrac{1}{\hat{B}}\cdot \left(\hat{A}\cdot\mfrac{1}{\hat{A}}\right)=\mfrac{1}{\hat{A}}-\mfrac{1}{\hat{B}} \end{align*}

この公式 \eqref{s16} に於いて $A=E_i-\hat{H}\pm i\varepsilon$ 及び $\hat{B}=E_i-\hat{H}_0\pm i\varepsilon$ とおくと $\hat{B}-\hat{A}=\hat{H}-\hat{H}_0=\hat{V}$ となるので, 次の恒等式を得ることが出来る:

\begin{align} &\mfrac{1}{\hat{A}}-\mfrac{1}{\hat{B}}=\mfrac{1}{\hat{B}}\big(\hat{B}-\hat{A}\big)\mfrac{1}{\hat{A}} \quad \rightarrow\quad \mfrac{1}{\hat{A}}=\mfrac{1}{\hat{B}}+\mfrac{1}{\hat{B}}\hat{V}\mfrac{1}{\hat{A}} =\mfrac{1}{\hat{B}}\left(1+\hat{V}\mfrac{1}{\hat{A}}\right) ,\notag\\ &\therefore\quad \mfrac{1}{E_i-\hat{H}\pm i\varepsilon}=\mfrac{1}{E_i-\hat{H}_0\pm i\varepsilon}\left[1+\hat{V} \mfrac{1}{E_i-\hat{H}\pm i\varepsilon}\right] \label{s17} \end{align}

この結果を式 \eqref{s15} の右辺に適用すると次を得る:

\begin{align} \ket{\Psi_i^{(\pm)}}&=\ket{\Phi_i}+\mfrac{1}{E_i-\hat{H}\pm i\varepsilon}\hat{V}\ket{\Phi_i} =\ket{\Phi_i}+\mfrac{1}{E_i-\hat{H}_0\pm i\varepsilon}\left[1+\hat{V}\mfrac{1}{E_i-\hat{H}\pm i\varepsilon}\right]\hat{V}\ket{\Phi_i}\notag\\ &=\ket{\Phi_i}+\mfrac{1}{E_i-\hat{H}_0\pm i\varepsilon}\hat{V}\left[\ket{\Phi_i} +\mfrac{1}{E_i-\hat{H}\pm i\varepsilon}\hat{V}\ket{\Phi_i}\right]\notag\\ &=\ket{\Phi_i}+\mfrac{1}{E_i-\hat{H}_0\pm i\varepsilon}\hat{V}\ket{\Psi_i^{(\pm)}} \label{s18} \end{align}

この状態ベクトル $\ket{\Psi_i^{(\pm)}}$ が満たす式は「Lippmann-Schwingerの方程式」と呼ばれており, 式 \eqref{s15} はこの方程式の形式解になっている.

ポテンシャル $V(\mb{r})$ の作用の下にある 1 粒子系を考えて, そのハミルトニアンが,

\begin{equation} H=H_0+V=-\mfrac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\mb{r}) \label{s19} \end{equation}

であるとき,「Lippmann-Schwingerの方程式」からは, 左から位置ブラ $\bra{\mb{r}}$ を作用することで最終的に次のような散乱の積分方程式を得ることが出来る:

\begin{equation} \psi_{\mb{k}}^{(\pm)}(\mb{r})=e^{ikz}-\mfrac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \mfrac{e^{\pm ik|\mb{r}-\mb{r}'|}}{|\mb{r}-\mb{r}'|}U(\mb{r}')\psi_{\mb{k}}^{(\pm)}(\mb{r}')\,d^{3}r' \label{s20} \end{equation}

ただし $\psi_{\mb{k}}^{(+)}(\mb{r})$ の場合, 第 2 項は外向きの散乱波を与えるのに対して,$\psi_{\mb{k}}^{(-)}(\mb{r})$ の場合には原点に向かって収束する内向きの散乱波を与える.

式 \eqref{s18} の「Lippmann-Schwingerの方程式」に左から $(E_i-\hat{H}_0+i\varepsilon)$ を掛けると,

\begin{align*} (E_i-\hat{H}_0+i\varepsilon)\ket{\Psi_i^{(\pm)}}&=(E_i-\hat{H}_0+i\varepsilon)\ket{\Phi_i} +\hat{V}\ket{\Psi_i^{(\pm)}}\\ &=\pm i\varepsilon\ket{\Phi_i}+\hat{V}\ket{\Psi_i^{(\pm)}} \end{align*}

従って,

\begin{equation*} (E_i-\hat{H}+i\varepsilon)\ket{\Psi_i^{(\pm)}}=(E_i-H_0-V+i\varepsilon)\ket{\Psi_i^{(\pm)}} =\pm i\varepsilon\ket{\Phi_i} \end{equation*}

ここで「断熱的スイッチオフ」の操作をして $\varepsilon\to0$ の極限をとると, 右辺は無視されて次を得る:

\begin{equation} \hat{H}\ket{\Psi_i^{(\pm)}}=E_i\ket{\Psi_i^{(\pm)}} \label{s21} \end{equation}

すなわち, 時刻 $t=0$ での状態 $\ket{\Psi_i^{(\pm)}}$ は, 初状態 $\ket{\Phi_i}$ のエネルギー固有値 $E_i$ と同じエネルギー固有値に属する全系のハミルトニアン $\hat{H}$ の固有状態となると言える.これを「断熱定理」という.