ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

Zorin OSのインストール

UbuntuをベースとするLinuxディストーション「Zorin OS」 をノートパソコンにインストールしてみた。このOSには、Linux上でWindowsプログラムをネイティブ動作させるWineが最初から入っておりOS自体もwindow風になっている。

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パソコンのプロセッサはインテルCeleron N3450、メモリは4GB、また240GBのSSDを搭載している。最近のノートパソコンとしてはあまり性能の良い方とは言えないがLinuxは軽快に動いてくれる。この記事はそのノートパソコンから書いているのである!。

ところが肝心のplayonlinuxが動かない❗️。それじゃダメじゃん‼️。

式(11.71)と式(11.72)の導出

10月19日に書いたが,Schulmanが「積分の端点についてどうする必要があるのかよく分からない」と述べている式の導出に挑戦して見よう.

ファインマンはまず式(11.70)で量$Z(t)$を次のように定義している: $$ Z(t)=\frac{w}{2}\int_0^{\beta} ds\,X'(s) e^{-w|t-s|} \tag{11.70} $$ そして,これを$t$で2回微分すると式(11.71)になると言っている: $$ \frac{d^{2}Z(t)}{dt^{2}}=w^{2}\Bigl[ Z(t)-X'(t) \Bigr] \tag{11.71} $$ また式(11.68): $$ \frac{d^{2}X'(t)}{dt^{2}}=2C\int_0^{\beta}ds\,\Bigl[ X'(t)-X'(s) \Bigr]\,e^{-w|t-s|}-f(t) \tag{11.68} $$ は,次の式(11.72)のように書けると言っている: $$ \frac{d^{2}X'(t)}{dt^{2}}=\frac{4C}{w}\Bigl[ X'(t)-Z(t)\Bigr] -f(t) \tag{11.72} $$ 以上の式(11.71)と式(11.72)の導出の過程を以下に示す.

式(11.71)の導出

まず$Z(t)$を次のように書き直しておく: $$ \begin{align} Z(t)&=\frac{w}{2}\left\{\int_0^{t} ds\,X'(s) e^{-w(t-s)}+\int_t^{\beta} ds\,X'(s) e^{-w(s-t)}\right\}\notag\\ &=\frac{w}{2}\left\{e^{-wt}\int_0^{t}ds\,X'(s)e^{ws}+e^{wt}\int_t^{\beta}ds\,X'(s)\,e^{-ws}\right\} \tag{1}\label{eq:2017-10-28_1} \end{align} $$ また式(11.70)を$t$で微分する際に次の公式を利用する: $$ \begin{equation} \frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt=f[v(x)]v'(x)-f[u(x)]u'(x) \tag{2} \end{equation} $$ すると,式\eqref{eq:2017-10-28_1}の$Z(t)$を$t$で微分すると, $$ \begin{align} \frac{dZ(t)}{dt}&=\frac{w}{2}\left\{-w\,e^{-wt}\int_0^{t}ds\,X'(s)e^{ws}+e^{wt}X'(t)\,e^{-wt}\right.\notag\\ &\quad\left. +w\,e^{wt}\int_t^{\beta}ds\,X'(s)e^{-ws}-e^{wt}X'(t)\,e^{-wt}\cdot\frac{dt}{dt}\right\}\notag\\ &=-\frac{w^{2}}{2}\left\{ e^{-wt}\int_0^{t}ds\,X'(s)\,e^{ws} - e^{wt}\int_t^{\beta}ds\,X'(s)\,e^{-ws} \right\} \tag{3} \end{align} $$ これをさらに$t$で微分すれば,次のように式(11.71)が得られる: $$ \begin{align} \frac{d}{dt}\left(\frac{dZ(t)}{dt}\right)&=-\frac{w^{2}}{2}\left\{ -w\,e^{-wt}\int_0^{t}ds\,X'(s)\,e^{ws}+e^{-wt}X'(t)\,e^{wt}\right.\notag\\ &\quad\left. -w\,e^{wt}\int_t^{\beta}ds\,X'(s)\,e^{-ws}+e^{wt}X'(t)\,e^{-wt} \right\}\notag\\ &=-\frac{w^{2}}{2}\left\{ -w\int_0^{t}ds\,X'(s)\,e^{-w(t-s)}-w\int_t^{\beta}ds\,X'(s)\,e^{-w(s-t)} + 2X'(t)\right\}\notag\\ &=w^{2}\left\{\frac{w}{2}\int_0^{\beta} ds\,X'(s)\,e^{-w|t-s|} -X'(t) \right\}\notag\\ \therefore\quad \frac{d^{2}Z(t)}{dt^{2}}&=w^{2}\left\{ Z(t)- X'(t)\right\} \notag \end{align} $$

式(11.72)の導出

まず上記の式(11.68)は$Z(t)$の定義式(11.70)も利用すると,次のように書き直すことが出来ることに注意する: $$ \frac{d^{2}X'(t)}{dt^{2}}=2CX'(t)\int_0^{\beta}ds\,e^{-w|t-s|}-\frac{4C}{w}Z(t)-f(t) \tag{4} $$ この第1項中の積分は,ファインマン統計力学のp.285に記述されているように「$e^{-w\beta}$を無視する」ことにすれば, $$ \begin{align} &\int_0^{\beta}ds\,e^{-w|t-s|}=\int_0^{t}ds\,e^{-w(t-s)}+\int_t^{\beta}ds\,e^{-w(s-t)}\notag\\ &\quad=e^{-wt}\int_0^{t}ds\,e^{ws}+e^{wt}\int_t^{\beta}ds\,e^{-ws} =\frac{1}{w}\left\{ e^{-wt}\left(e^{wt}-1\right)-e^{wt}\left(e^{-w\beta}-e^{-wt}\right)\right\}\notag\\ &\quad\approx \frac{1}{w}\bigl( 1-e^{-wt}+1\bigr)=\frac{1}{w}\bigl(2-e^{-wt}\bigr) \tag{5} \end{align} $$ 更に$(2-e^{-wt})\approx 2$と近似してしまう,すなわち「$e^{-wt}$を無視してしまう」ならば, $$ \int_0^{\beta}ds\,e^{-w|t-s|}\approx \frac{2}{w} \tag{6} $$ これを式(4)に代入すると式(11.72)となることが出来る: $$ \begin{align} \frac{d^{2}X'(t)}{dt^{2}}&\approx 2C\cdot\frac{2X'(t)}{w}-\frac{4C}{w}Z(t)-f(t)\notag\\ &=\frac{4C}{w}\Bigl[ X'(t)-Z(t) \Bigr]-f(t) \notag \end{align} $$

以上から,式(11.72)を得るには結局 L.S.Schulmanが言っているように,『端点の寄与$e^{-w\beta}$と$e^{-wt}$は無視する』必要があるように思われた.(値$e^{-wt}$がend-pointと言えるのかどうかは知らないが).

式(11-69)の導出

前に書いた記事に関連して,式(11.69)の導出に挑戦した過程を示しておこう.式(11.67)を$I=\exp(I')$とすると$I'$は, $$ \begin{align} I'&=-\frac{1}{2}\int_0^{\beta}dt\,\dot{X}'(t)^{2}-\frac{C}{2}\int_0^{\beta}dt\int_0^{\beta}ds\,\Bigl[X'(t)-X'(s)\Bigr]^{2}\,e^{-w|t-s|}\notag\\ &\quad +\int_0^{\beta}dt\,f(t)X'(t) \tag{1}\label{2017-10-29_1} \end{align} $$ まずこの第1項目の積分を考える.それを部分積分すると, $$ \int_0^{\beta}\dot{X}^{'2}(t)\,dt=\Bigl[X'(t)\dot{X}'(t)\Bigr]_0^{\beta}-\int_0^{\beta}X'(t)\ddot{X}'(t)\,dt \tag{2} $$ 端点で$X(0)=X(\beta)=0$であると第1項目はゼロとなる.更に次の式(11.68)を利用する: $$ \ddot{X}'=2C\int_0^{\beta}ds\,\Bigl[X'(t)-X'(s)\Bigr]\,e^{-w|t-s|}-f(t) \tag{3} $$ すると, $$ \begin{align} &\int_0^{\beta}\dot{X}^{'2}(t)\,dt=-\int_0^{\beta}X'(t)\ddot{X}'(t)\,dt\notag\\ &\quad=-2C\int_0^{\beta}dt\,X'(t)\int_0^{\beta}ds\,\Bigl[X'(t)-X'(s)\Bigr]\,e^{-w|t-s|}+\int_{0}^{\beta} dt\,X'(t)f(t) \tag{4} \end{align} $$ これを式\eqref{2017-10-29_1}に代入して整理すると次を得る: $$ I'=\frac{C}{2}\int_0^{\beta}dt\int_0^{\beta}ds\,\Bigl[X'(t)^{2}-X'(s)^{2}\Bigr]\,e^{-w|t-s|}+\frac{1}{2}\int_0^{\beta}dt\,X'(t)f(t) \tag{5} $$ ここで第1項目がゼロ(?!)ならば,式(11.67)は無事に式(11.69)となる: $$ I=\exp(I')=\exp\left[\frac{1}{2}\int_0^{\beta}dt\,X'(t)f(t)\right] \tag{11.69} $$ すなわち,式(11.69)となるには「10月25日に書いた積分がゼロである」と言える必要があったのである.

収穫の秋(落花生掘り)

今日からまた台風の影響でしばらく雨降りの日々である.今年は夏から本当に雨降りの日が多いので,野菜などにも影響が出て来るのではと心配している.昨日,落花生を十数株試しに掘って見た.ガイドブックには「下葉が枯れて黄色くなり始めたら収穫適期.霜が降る前の11月上旬に株ごと掘り上げて収穫する」と書かれてある.先日の台風が去ってから急に下葉の方が枯れてきた.でも黄色ではなくて腐った感じの土色になっている.多分連日の雨にさらに台風の大雨で腐り始めてしまったのではないだろうか?

前に書いたようにあまり手入れをせず草だらけであったので収穫は期待しなかったのだが,堀った株の良さそうなものでは,まあ百粒前後の実がなっていた.

莢にはみんなしっかり実が入っているようだ.本の「カルシウムが不足すると莢だけ出来て実が入らない「空莢現象」が起こる.石灰をきちんと施しておくことが大切である」のガイドに従って,タネまきの二週間前に苦土石灰を撒き,一週間前に化成肥料を施して耕運してから播種したのが良かったのかも知れない.

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本に「莢(さや)ごと塩ゆでして食べる『ゆでラッカセイ』には10月中旬頃の完熟前の柔らかい実を利用しよう」と書かれてあった.母親に茹でてもらって食べているが,ビールのつまみにちょうど良い感じだ.

wxMaximaを使う

式(11.69)を証明するために次式が言えることを示す必要があった: $$ \int_0^{\beta}dt\int_0^{\beta}ds\,\left[x^{2}(t)-x^{2}(s)\right]\,e^{-w|t-s|}=0 \tag{1} $$ しかし数学能力に乏しい者にとって,これを直接的に示すことは難しい!.そこで姑息ながら数式処理ソフトを使って間接的に成り立つことを確認しようと考えて,前に紹介したインターネットサイトのWolframAlphaを利用しようとしたが,使い方に詳しくないのでフリーの範囲では上手く出来なかった.

そのため,今度は数式処理のフリーソフトであるwwMaximaを利用することにした.例えば,最も簡単な場合として$x(t)=t,\,x(s)=s$のときの式(1)を考えると, $$ \begin{align} I&=\int_0^{\beta}dt\int_0^{\beta}ds\,\left[t^{2}-s^{2}\right]\,e^{-w|t-s|}\notag\\ &=\int_0^{\beta}dt\int_0^{t}ds\,\left[t^{2}-s^{2}\right]\,e^{-w(t-s)}+\int_0^{\beta}dt\int_t^{\beta}ds\,\left[t^{2}-s^{2}\right]\,e^{-w(s-t)} \tag{2} \end{align} $$ となるから,これをwxMaximaで式展開するには,例えば次のように入力してみれば良いであろう:

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この結果を見ると大変複雑そうであるが,それは式の表示をwxMaximaがあまり賢くしてくれないせいである.例えば$\%e^{\log(e)wB}$は単に$e^{wB}$であるし$\log(e)^{2}$は$2\log e=2$などと読み直す必要がある.そのようにして最後の結果式を読むならば次のようにゼロとなることが分かる: $$ I=-\frac{B^{2}}{2w^{2}}+\frac{2B}{3w^{3}}-\frac{2}{4w^{4}}+\frac{B^{2}}{2w^{2}}+\frac{2B}{3w^{3}}+\frac{2}{4w^{4}}-\frac{4B}{3w^{3}}=0 $$ このようにして,一応は式(1)が成立するらしいことを確認したのであった.数学的にキチンとした証明が出来る方が居られたら御教授お願い致します。