ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

Kleinertの修正

多くの問題が自力では解答出来なかったので色々な参考書から関係する部分を抜粋して解答を書いて来た.しかし, 一連の記事を書くとき再度見直していると, 色々間違えているが多くて, それらを修正しながらこのブログに載せている.問題3-10もその一つである. この解答に際しては, H. Kleinert:「Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets」を参照した.しかし Kleinert の原文にもタイプミスがあると思われたので, 解答を載せる前にそれを示しておこう.


§ 2.18 の式 (2.651) 及び 式 (2.653)は次になっている: $$ \def\mb#1{\mathbf{#1}} \begin{align} \mathcal{A}_e^{N}&=\sum_{n=1}^{N+1}\left\{\mb{p}_n(\mb{x}_n-\mb{x}_{n-1})-\frac{1}{2M}\left[p_{x n}^{\,2}+(p_{y n}-B x_n)^{2}+p_{z n}^{\,2}\right]\right\} \tag{1} \end{align} $$ しかし, これらには「$\varepsilon$が抜けている」ようであり, また「$B\to m\omega_{L}$とすべき」であろう.よって次となるべきと思われる:

$$ \mathcal{A}_e^{N}=\sum_{n=1}^{N+1}\left\{\mb{p}_n(\mb{x}_n-\mb{x}_{n-1})-\frac{\varepsilon}{2M}\left[p_{x n}^{\,2}+(p_{y n}-m\omega_L x_n)^{2}+p_{z n}^{\,2}\right]\right\} \tag{2} $$

ただし \displaystyle \varepsilon\equiv t_n-t_{n-1}=\frac{t_b-t_a}{N+1}>0 であり, また \displaystyle \omega_L=\frac{e}{Mc}B である.このように言われていも kleinert を見ないと, なぜこの式(2)へ修正するべきなのかを判断できないと思うので, 参考のために関係する前後の原文を以下に示しておこう.


In the canonical form, the action reads $$ \begin{align} \mathcal{A}[\mb{p},\mb{x}]&=\int_{t_a}^{t_b}dt\,\left\{\mb{p}\cdot\dot{\mb{x}}-\frac{1}{2M} \left[\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}(\mb{x})\right]^{2}\right\} \tag{2.641}\\ &\vdots\notag \end{align} $$

The time-sliced form of the canonical action (2.641) reads $$ \mathcal{A}_e^{N}=\sum_{n=1}^{N+1}\left\{\mb{p}_n(\mb{x}_n-\mb{x}_{n-1})-\frac{1}{2M}\left[ p_{x n}^{\,2}+(p_{y n}-B x_n)^{2}+p_{z n}^{\,2}\right]\right\} \tag{2.651} $$ and the associated time-evolution amplitude for the particle to run from $\mb{x}_a$ to $\mb{x}_b$ is given by $$ \left(\mb{x}_b t_b|\mb{x}_a t_a\right)=\prod_{n=1}^{N}\left[\int d^{3}x_n\right] \prod_{n=1}^{N+1} \left[\int\frac{d^{3}p_n}{(2\pi\hbar)^{3}}\right] \exp\left(\frac{i}{\hbar}\mathcal{A}_e^{N}\right), \tag{2.652} $$ with the time-sliced action $$ \mathcal{A}_e^{N}=\sum_{n=1}^{N+1}\left\{\mb{p}_n(\mb{x}_n-\mb{x}_{n-1})-\frac{1}{2M}\left[ p_{x n}^{\,2}+(p_{y n}-B x_n)^{2}+p_{z n}^{\,2}\right]\right\} \tag{2.653} $$