Problem 4-10 Verify that $K$ as defined in Eq. (4-59) satisfies the Schrödinger equation (4-29) . ( 解答 ) 式 (4.29) と式 (4.59) は次である： $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2…

原書の§ 12-7 及び § 12-8 では「外場ポテンシャル $V(t)$」をそのまま式に使用している．しかし校訂版で訂正されているように,「原書の $V(t)$ はポテンシャルではなく外力 $f(t)$ に相当する」ようだ． なぜなら, まず § 6-1 の式 (6.2) に, 外力 $f(t)$ …

Problem 4-9 Show from the fact that $H$ is hermitian that Eq. (4-46) holds. $\ \ $ [ Choose $f=\phi_2$, $g=\phi_1$ in Eq. (4-30). ] $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle…

Problem 4-8 Show from the fact that $H$ is hermitian that $E$ is real. $\ \ $ [ Choose $f=g=\phi$ in Eq. (4-30). ] $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} …

Problem 4-7 Show that if $t_1 < t_3$, the left-hand side of Eq. (4-38) equals $K^{*}(3,1)$ $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\p…

Problem 4-6 Show that $K(2,1) \rightarrow \delta(x_2-x_1)$ as $t_2\to t_1+0$. $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\p…

問題 4-6 の準備として Dirac の $\delta$ 関数について書いておこう．Dirac の $\delta$ 関数は, 1930 年に Paul Dirac が書いて大きな影響を与えた本：「量子力学」の中で, Dirac が離散的な「クロネッカーのデルタ」の連続的な場合の類似物を利用する際の…

以下は「ファインマン物理学」の第25章の第5節と第26章の第1節に多少の修正と加筆をしたものである．ここでは $c=1$ とする． 動く電荷による４元ポテンシャル $ \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\…

前のブログ：「Liénard-Wiechert の点ポテンシャルについて」に書いたように, Liénard-Wiechert ポテンシャルは「等速度運動する点電荷」が作るポテンシャルであった．それは「位置 $\mathbf{x}'$ で運動する源泉 (電荷及び電流) 」が観測点 $P$ (位置 $\mat…

この問題は自力では解けなかったので, 「経路積分ゼミナール」を参照して解答としている． Problem 4-5 Using the relation \begin{equation} K(2,1)=\int_{-\infty}^{\infty} K(2,3)K(3,1)\,dx_3 \tag{4-26} \end{equation} with $t_3-t_1=\varepsilon$, an…

4次元の勾配 次に議論すべきは勾配の4次元的な類似物についてである． Vol. I の第14章で, ３つの演算子 $\partial/\partial x$, $\partial/\partial y$, $\partial/\partial z$ が3次元ベクトルと同じ変換性を持ち「勾配」と呼んだことを思い出そう．同じ構…

前のブログで「Liénard-Wiechertポテンシャルは相対論的な式である」ことを述べた．相対論はずっと前に内山の教科書で学んだが内容はもうすっかり忘れているし, 最近は「相対論をちゃんと分かってないな」と痛感することがしばしばである．ファインマン物理…

Problem 4-4 Show $$ \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} \def\mfrac#1#2{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\pa…

Problem 4-3 Show that the complex conjugate function $\psi^{*}$, defined as the function $\psi$ with every $i$ changed to $-i$, satisfies $$ \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1…

高校物理でも「ボーアの理論」は学ぶと思う．たとえばある教科書には次のような文章が載っていた： ラザフォードの原子模型には, 重大な難点があった．従来の電磁波の理論からすると, 原子核の周りの電子の回転運動のために電磁波が放射されるので, 電子はエ…

Problem 4-2 For a charged particle in a magnetic field the lagrangian is $$ \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} \def\mfrac#1#2{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}} L=\frac{m\dot{\mb{x}}^{2…

Problem 4-1 Show that for a single particle moving in three dimensions in a potential energy $V(\mathbf{x},t)$ the Schrödinger equation is \begin{equation} -\frac{\hbar}{i}\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\ps…

前に書いたブログ記事：「グリーン関数について part 4」の中で, 式(36)の「リエナール・ヴィーヒェルトのポテンシャル」を紹介した． $ \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}}…

前のブログ記事：「グリーン関数について part 4」に書いたように, その記事中の式(36)の「リエナール-ヴィーヒェルトのポテンシャル」から, Jackson のやり方で電場の式(42)を求めてみよう．しかし Jackson や Panofsky & Phillips さらには Oppenheimer な…

Problem 3-13 By keeping track of all the constants, show that the implication is that the jacobian satisfies \begin{equation} J\sqrt{N}\left(\frac{\sqrt{2N}}{\pi}\right)^{N}\prod_{n=1}^{N} \frac{1}{n}\rightarrow 1\quad \text{as}\quad N\to\…

Problem 3-12 If the wave function for a harmonoic oscillator is (at $t=0$) $$ \def\mfrac#1#2{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\quad\strut #1\quad}$}} \psi(x,0)=\exp\left[ -\frac{m\omega}{2\hbar}(x-a)^{2}\right] \tag{3.…

以下は, 砂川重信：「理論電磁気学」, 及び J.D.Jackson：「Classical Electrodynamics」, そして ランダウ：「力学・場の理論」から, 関係する部分を抜粋してまとめたものである．ただし Jackson は第３版の訳であるが, そこでの式は, 第10章までは SI単位…

この問題も, 前問と同様に次のサイトに解答例が示されている： http://www2.oberlin.edu/physics/dstyer/FeynmanHibbs/Prob3-11.pdf しかし, ここでは Hagen Kleinert の解説文をまとめることで解答して見よう． Problem 3-11 Suppose the harmonic oscillat…

Sturm-Liouville 理論としてのグリーン関数 以下は Wikipedia(英語版) を訳出したものである． Sturm-Liouville theory 数学およびその応用に於いて, Jacques Charles François Sturm と Joseph Liouville にちなんで名付けられた古典的な Sturm-Liouville …

問題3-11の解答をKleinertの文章をまとめることで示そうと思うが, そのkleinertの原文にタイプミスがまた在るようだったので報告しておく． §3.1 External Sources に於ける式(3.5)の前後の文章は次となっている： Consider a harmonic oscillator with an a…

この記事は本文 §3.5 からの抜粋である．あえて記事として書いておくのは, この部分は以降の章でよく利用される事柄で, 問題3-11でも用いられるからである． 最も単純な経路積分は「指数部分に全ての変数が2次の多項式の形で現れる場合」で, それは特に「ガ…

この記事はJ.J.Sakurai ：「現代の量子力学」第7章からの抜粋である． 散乱理論 時間を含まない散乱過程の理論 ハミルトニアンが次式のように表せると仮定する： $$ \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ket#1{\left|#1\right\rangle} \def\bra#1{\left\langle#1\ri…

ランダウ：「力学・場の理論」の§ 60, 小出昭一郎：「物理現象のフーリエ解析」の第4章, そして今村勤：「物理とグリーン関数」の第10章 からの文章を抜粋することで「Green関数」についてまとめておこう．問題 3-11 の回答もまた Kleinert に頼ることにした…

4月に入って農作業が色々と始まったり, 問題の検討と修正に大分手間取ってしまったので記事にするのが大分遅れたが, 今日やっと書き上げることが出来た．前述したように, この解答はkleinertの解説を元にしたものである． 色々と間違いやタイプミスがあって…

多くの問題が自力では解答出来なかったので色々な参考書から関係する部分を抜粋して解答を書いて来た．しかし, 一連の記事を書くとき再度見直していると, 色々間違えているが多くて, それらを修正しながらこのブログに載せている．問題3-10もその一つである…