この度, 次の自分のサイトを立ち上げました： path4sunflower.com これからは基本的に, 上記のサイトに記事を書いて行こうと思っています．もし興味のある方はそちらを閲覧して頂けたら有り難いです． 今まで書いて来た記事も追々そちらへ移行して行こうと思…

昨日, 自分のブログ記事の数式がきちんと表示されない場合があることに気付きました． もしそのような状態の場合には, 記事のタイトルを何度かクリックまたはタップする, または, 右側欄にある最新記事下の読もうとする題名部分を何度かクリックまたはタップ…

問題 6-9 に関連して, 今度は一様分布の核電荷が電子に及ぼすポテンシャル $V(r)$ のフーリエ成分 $v(k)$ を求めてみることにする． 核電荷 $Ze$ が半径 $r_n$ の球に一様分布していると仮定したときの電位分布 $\phi(r)$ は前のブログ記事の結果に於いて $a…

問題 6-9 に関連して, 霜田,近角編：「大学演習電磁気学」から, 第１章の演習問題 [9] の問題文と解答を示しておく．(ただし, ガウス単位系の方の解答を示す)． [ 問題 ] 半径 $a$ の球の内部が一様に密度 $\rho$ の電荷を持っているとき, 球の内外の電界 $E…

$\def\mb#1{\mathbf{#1}}$ こういうふうにして, シュレディンガーの希望して果たせなかった願い, すなわち波動 $\psi(\mb{x})$ を抽象的な座標空間内に閉じ込めないで, ３次元実空間中に迎え入れようという願いが, $\psi(\mb{x})$ の代わりに量子化した $\ha…

多数の同種粒子から成る系を扱う場合, その系の状態を表わすのに "色々な一粒子状態を占めている粒子の数 " で表現する「数量表示」を用い, その粒子数の変化は "消滅演算子" や "生成演算子" で表現するやり方がある．また, 多粒子系を三次元空間の中で起こ…

超伝導の議論には多体系の理論が必要であるようだ．そこで, 同種粒子から構成される量子力学的体系について, J.J.Sakurai の第6章から要点を抜粋してまとめておこう． 置換対称性 $ \def\ket#1{|#1\rangle} $ 任意の 2 粒子の一方の粒子1 が $k'$ の指標で特…

Ginzburg-Landau 理論には「S-行列」や「場の量子論に於ける Green 関数」が出現するようである．そこでまずは「S-行列」について, 砂川：「量子力学」から関係する部分を抜粋してまとめておこう． S-行列 2 個の異なる粒子が, 初めは十分に遠くに離れていて…

前の記事と同じく, 「超伝導入門」の § 1. 2. 4 で「波動関数を振幅と位相に分けて表わすことによる議論」を理解するために, J.J. Sakurai の § 2.6 「電磁気学に於けるゲージ変換」の部分を抜粋してまとめておく． 電磁気学に於けるゲージ変換 時間に依らな…

経路積分がやっと読み終わったので, 次に「超伝導」について学んで行こうと思う．これからは, その際に気になった事や難解と思われた点などについても記事を書いて行こう．「超伝導」についても初学者なので入門書から取り掛かることにし, 裳華房の青木秀夫…

校訂版の式 (12-124) 及び 式 (12-126) は, 次のように修正されているが, この修正は必要ないと思われた： $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\ket#1{|#1\rangle} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\PKB#1#2{|#1\rangle\langle #2|} \def\BraKet#1#2#3{\la…

§ 12-8 の式 (12-112) 以降の事柄が成立する理由を考察したので書いておこう．式 (12-112) の前後の文章は次である： ガウス型雑音を受けている古典的力*1 による擾乱の場合, $\alpha(\theta)$ は実数であり, $a(\nu)$ の実数部は式 (12-50) *2 で定義された…

前のブログ記事に関連して, 式 (12-20)の導出過程を示しておこう．導出には「定常過程とその特性」を利用してみる． 以下は, 斎藤慶一：「確率と確率過程」の§ 3. 2 から「定常性」について要点をまとめたものである． 定常性 確率過程 $X(t)$ を $n$ 個 ($n…

原書とその和訳本では, 式 (12-17) から式 (12-21) が異なった表現になっている．例えば, 式 (12-17) について和訳本の方の式番号にはダッシュを付けて書くと次である： $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\ket#1{|#1\rangle} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle}…

式 (12-110) は, 前に書いた記事の公式 (A.12) を用いれば解けそうと思ったがダメだった．それで, 予定外ではあるが, 悪戦苦闘した式 (12-110) の導出過程を書いておこう． 式 (12.108) に於いて $\alpha(t,t')=\alpha(t-t')=\alpha(\theta)$ そして $\nu=E_…

巻末には Appendix : Some Useful Definite Integrals があるが, 校訂版には次の4つの公式が追加されているので示しておこう． $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\ket#1{|#1\rangle} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\PKB#1#2{|#1\rangle\langle #2|} \d…

しばらく前に進めなかったが, 先日ようやく最後の問題を解くことが出来た．Feynman & Hibbs に取り掛かったのが多分 2014 年の 7 月くらいであったから, Feynman を「解読する」のにちょうど 5 年も掛かったことになる． Problem 12-3 For $m=n$, verify $\d…

Problem 5-13 Discuss the possibility of interpreting $\phi_n(x)$ as a $\chi_{a, b, c, \dotsb}(x)$ function discussed in Sec. 5-2. That is, say $\phi^{*}_n(x)$ is the transformation function to go from the $x$ representation to a representa…

Problem 5-12 Show that the $x$ coordinate of position and the $x$ coordinate of momentum are not simultaneously measurable quantities. ( 解答 ) 問題 5-9 と問題 5-10 とから, 運動量の $x$ 成分に対する演算子は $\displaystyle{\hat{p}_x=\frac{\…

Problem 5-11 The wave function $\chi_{a,b, c, \dotsb}(x)$, as discussed in Sec. 5-2, shows a particularly simple behavior when subjected to the operator $\mathcal{A}$. Thus $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\Br…

Problem 5-10 Suppose the quantity $A$ corresponds to the $x$ coordinate of position. Show that the correct formula for the expected value of $x$ results when the function $G_A(x,x^{'})$ is taken to be $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\…

Problem 5-9 The transformation function between space representation and momentum representation is $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\pa…

Problem 5-8 Note that Eq. (5-44) implies $G_{A}^{*}(x,x^{'})=G_{A}(x^{'},x)$. With this in mind show that for any two wave functions $g(x)$ and $f(x)$, both of which approach $0$ as $x$ goes to $\pm\infty$, \begin{equation} \int_{-\infty}^…

前回の記事で言及したが, 経路積分では「不確定性原理」はどのように扱われているのであろうか？．ファインマンは「不確定性原理」について, 彼の著書：「光と物質のふしぎな理論」( QED : The Strange Theory of Light and Matter ) の中で次のように言べて…

別冊日経サイエンス：「量子の逆説」の中に " 不確定性原理の再出発 " という記事があった．不確定性原理は経路積分ではどのように導かれていたのか気になったので, 本文の第3章を見直ししていたのだが, その際に, 原書及び訳書の § 3-2 の部分に問題点があ…

Problem 5-7 Suppose that the $A$, $B$, $C$, $\dotsb$ representation does not correspond to either coordinate representation or momentum representation, but instead is some third way of representing the state of the system. Suppose we know …

Problem 5-6 Suppose $A$, $B$, and $C$ are the three cartesian components of momentum $p_x$, $p_y$, $p_z$. What is the form of the function $\chi_{a,b,c}(x,y,z)$ ? Using the results of Sec. 5-2, verify the relations obtained in Sec. 5-1. (…

スピン $1/2$ を持った原子が一様な外部磁場の中に置かれた場合も考えておこう．以下は J.J.Sakurai の § 2.1 からの抜粋に少しの修正を施したものである． 磁気モーメント $\mathbf{\mu}=e\hbar/2mc$ を持つスピン $1/2$ の原子が外部磁場 $\mathbf{B}$ 中…

Bell の不等式を試すための実験に用いられた物理量として, 一つは「低エネルギーの陽子-陽子散乱に於ける散乱後の陽子間のスピン相関」がある．それ以外で実験の多くで用いられた物理量は「励起原子のカスケード遷移やポジトロニウム ( $e^{+}e^{-}$ の $^{1…

Problem 5-5 Assume that the function $f(x,y,z,\dotsb)$ can be represented by*1 $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff…