ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

ファインマン

一様分布する核電荷によるポテンシャル $V(r)$ のフーリエ成分

問題 6-9 に関連して, 今度は一様分布の核電荷が電子に及ぼすポテンシャル $V(r)$ のフーリエ成分 $v(k)$ を求めてみることにする. 核電荷 $Ze$ が半径 $r_n$ の球に一様分布していると仮定したときの電位分布 $\phi(r)$ は前のブログ記事の結果に於いて $a…

一様な電荷密度を持つ球の内外の電場と電位

問題 6-9 に関連して, 霜田,近角編:「大学演習電磁気学」から, 第1章の演習問題 [9] の問題文と解答を示しておく.(ただし, ガウス単位系の方の解答を示す). [ 問題 ] 半径 $a$ の球の内部が一様に密度 $\rho$ の電荷を持っているとき, 球の内外の電界 $E…

式 (12-124) 及び 式 (12-126) について

校訂版の式 (12-124) 及び 式 (12-126) は, 次のように修正されているが, この修正は必要ないと思われた: $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\ket#1{|#1\rangle} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\PKB#1#2{|#1\rangle\langle #2|} \def\BraKet#1#2#3{\la…

式 (12-112) 以降の事柄について

§ 12-8 の式 (12-112) 以降の事柄が成立する理由を考察したので書いておこう.式 (12-112) の前後の文章は次である: ガウス型雑音を受けている古典的力*1 による擾乱の場合, $\alpha(\theta)$ は実数であり, $a(\nu)$ の実数部は式 (12-50) *2 で定義された…

定常過程と式 (12-20) の導出

前のブログ記事に関連して, 式 (12-20)の導出過程を示しておこう.導出には「定常過程とその特性」を利用してみる. 以下は, 斎藤慶一:「確率と確率過程」の§ 3. 2 から「定常性」について要点をまとめたものである. 定常性 確率過程 $X(t)$ を $n$ 個 ($n…

式 (12-17) から式 (12-21) までの表式について

原書とその和訳本では, 式 (12-17) から式 (12-21) が異なった表現になっている.例えば, 式 (12-17) について和訳本の方の式番号にはダッシュを付けて書くと次である: $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\ket#1{|#1\rangle} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle}…

式 (12-110) の導出

式 (12-110) は, 前に書いた記事の公式 (A.12) を用いれば解けそうと思ったがダメだった.それで, 予定外ではあるが, 悪戦苦闘した式 (12-110) の導出過程を書いておこう. 式 (12.108) に於いて $\alpha(t,t')=\alpha(t-t')=\alpha(\theta)$ そして $\nu=E_…

付録:「役に立つ定積分」に追加された公式 (A.12) について

巻末には Appendix : Some Useful Definite Integrals があるが, 校訂版には次の4つの公式が追加されているので示しておこう. $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\ket#1{|#1\rangle} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\PKB#1#2{|#1\rangle\langle #2|} \d…

問題 5-13 の解答例

Problem 5-13 Discuss the possibility of interpreting $\phi_n(x)$ as a $\chi_{a, b, c, \dotsb}(x)$ function discussed in Sec. 5-2. That is, say $\phi^{*}_n(x)$ is the transformation function to go from the $x$ representation to a representa…

問題 5-12 の解答例

Problem 5-12 Show that the $x$ coordinate of position and the $x$ coordinate of momentum are not simultaneously measurable quantities. ( 解答 ) 問題 5-9 と問題 5-10 とから, 運動量の $x$ 成分に対する演算子は $\displaystyle{\hat{p}_x=\frac{\…

問題 5-11 の解答例

Problem 5-11 The wave function $\chi_{a,b, c, \dotsb}(x)$, as discussed in Sec. 5-2, shows a particularly simple behavior when subjected to the operator $\mathcal{A}$. Thus $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\Br…

問題 5-10 の解答例

Problem 5-10 Suppose the quantity $A$ corresponds to the $x$ coordinate of position. Show that the correct formula for the expected value of $x$ results when the function $G_A(x,x^{'})$ is taken to be $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\…

問題 5-9 の解答例

Problem 5-9 The transformation function between space representation and momentum representation is $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\pa…

問題 5-8 の解答例

Problem 5-8 Note that Eq. (5-44) implies $G_{A}^{*}(x,x^{'})=G_{A}(x^{'},x)$. With this in mind show that for any two wave functions $g(x)$ and $f(x)$, both of which approach $0$ as $x$ goes to $\pm\infty$, \begin{equation} \int_{-\infty}^…

経路積分による「不確定性原理」について

前回の記事で言及したが, 経路積分では「不確定性原理」はどのように扱われているのであろうか?.ファインマンは「不確定性原理」について, 彼の著書:「光と物質のふしぎな理論」( QED : The Strange Theory of Light and Matter ) の中で次のように言べて…

§ 3-2 の「The Conceptual Experiment」の翻訳

別冊日経サイエンス:「量子の逆説」の中に " 不確定性原理の再出発 " という記事があった.不確定性原理は経路積分ではどのように導かれていたのか気になったので, 本文の第3章を見直ししていたのだが, その際に, 原書及び訳書の § 3-2 の部分に問題点があ…

問題 5-7 の解答例

Problem 5-7 Suppose that the $A$, $B$, $C$, $\dotsb$ representation does not correspond to either coordinate representation or momentum representation, but instead is some third way of representing the state of the system. Suppose we know …

問題 5-6 の解答例

Problem 5-6 Suppose $A$, $B$, and $C$ are the three cartesian components of momentum $p_x$, $p_y$, $p_z$. What is the form of the function $\chi_{a,b,c}(x,y,z)$ ? Using the results of Sec. 5-2, verify the relations obtained in Sec. 5-1. (…

問題 5-5 の解答例

Problem 5-5 Assume that the function $f(x,y,z,\dotsb)$ can be represented by*1 $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff…

§ 5-1 の「運動量表示への変換」の訳

和訳本の式 (5-8) の説明文が分かりづらいと感じたので自分流に訳してみた. 運動量表示への変換 粒子が時刻 $t$ において位置 $\mathbf{R}$ に存在する振幅を $\psi(\mathbf{R},t)$ と呼んできた.他方「運動量振幅」は, 式 (5.6)より次で与えられることが…

問題 5-4 の解答例

Problem 5-4 Suppose the wave function for a system is $\psi(x)$ at time $t_1$. Suppose further that the behavior of the system is described by the kernel $K(x_2,t_2; x_1,t_1)$ for motions in the interval $t_2\ge t \ge t_1$. Show that the p…

問題 5-3 の解答例

この問題を「経路積分ゼミナール」では「ラグランジュの未定定数法」を用いて解答している.しかしながらそれがよく分からなかったので, ここで示すのは「解答」とは言えないような「問題が意味することを理解する」ための記述である. Problem 5-3 Assume ,…

式 (4-37)と式 (5-29) の違い

式 (4-37)と式 (5-29) は似た形をしており, 初心者には紛らわしかった.よく見れば違った式で, 言っている内容も異なっているようだ.その点をまとめておこう.そしてついでに, 本文 p. 102 の「式 (4-37) より式 (5-29) が得られる」という部分の導出手順も…

問題 5-2 の解答例

Problem 5-2 If we transform only the time and not the spatial variables, defining \begin{equation} k(x_{2},E_{2}; x_{1},E_{1})=\int d t_{1} \int d t_{2}\, e^{+ i E_{2} t_{2}/\hbar} K(x_{2},t_{2}; x_{1},t_{1}) e^{- i E_{1} t_{1}/\hbar} \tag…

問題 5-1 の解答例

ファインマン物理学の § 29 The Motion of Charges in Electric and Magnetic Fields では, 質量分析器などの機器の動作原理をやや詳しく述べることで「電磁場内の荷電粒子の運動」を解説している.そこでこの問題の解答は, その文章を利用して考えてみるこ…

問題 4-12 の解答例

Problem 4-12 Carry out the integral in Eq. (4.64) by completing the square. Show that the correct free-particle kernel ( i. e., the three - dimentional version of Eq. 3.3 ) results. ( 解答 ) 式 (4.64) は次である: $ \def\ket#1{|#1\rangle} …

問題 4-11 の解答例

Problem 4-11 Show that for free particles in three dimensions the solutions $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\par…

問題 4-10 の解答例

Problem 4-10 Verify that $K$ as defined in Eq. (4-59) satisfies the Schrödinger equation (4-29) . ( 解答 ) 式 (4.29) と式 (4.59) は次である: $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2…

§ 12-7 及び § 12-8 の外場ポテンシャル $V(t)$ は外力 $f(t)$ !

原書の§ 12-7 及び § 12-8 では「外場ポテンシャル $V(t)$」をそのまま式に使用している.しかし校訂版で訂正されているように,「原書の $V(t)$ はポテンシャルではなく外力 $f(t)$ に相当する」ようだ. なぜなら, まず § 6-1 の式 (6.2) に, 外力 $f(t)$ …

問題 4-9 の解答例

Problem 4-9 Show from the fact that $H$ is hermitian that Eq. (4-46) holds. $\ \ $ [ Choose $f=\phi_2$, $g=\phi_1$ in Eq. (4-30). ] $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle…