ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

ファインマン

グリーン関数について part 4

以下は, 砂川重信:「理論電磁気学」, 及び J.D.Jackson:「Classical Electrodynamics」, そして ランダウ:「力学・場の理論」から, 関係する部分を抜粋してまとめたものである.ただし Jackson は第3版の訳であるが, そこでの式は, 第10章までは SI単位…

問題 3-11 の解答例

この問題も, 前問と同様に次のサイトに解答例が示されている: http://www2.oberlin.edu/physics/dstyer/FeynmanHibbs/Prob3-11.pdf しかし, ここでは Hagen Kleinert の解説文をまとめることで解答して見よう. Problem 3-11 Suppose the harmonic oscillat…

ガウス積分について

この記事は本文 §3.5 からの抜粋である.あえて記事として書いておくのは, この部分は以降の章でよく利用される事柄で, 問題3-11でも用いられるからである. 最も単純な経路積分は「指数部分に全ての変数が2次の多項式の形で現れる場合」で, それは特に「ガ…

問題 3-10 の解答例

4月に入って農作業が色々と始まったり, 問題の検討と修正に大分手間取ってしまったので記事にするのが大分遅れたが, 今日やっと書き上げることが出来た.前述したように, この解答はkleinertの解説を元にしたものである. 色々と間違いやタイプミスがあって…

問題 3-9 の解答例

Problem 3-9 Find the kernel for a particle in a constant external field where the lagrangian is $$ L=\frac{m}{2}\dot{x}^{2} + fx \tag{3.61} $$ The result is $$ K=\left(\frac{m}{2\pi i\hbar T}\right)^{1/2}\exp\left[\frac{i}{\hbar}\left\{\fr…

問題 3-8 の解答例

Problem 3-8 For a harmonic oscillator the lagrangian is $$ L=\frac{m}{2}\dot{x}^{2}-\frac{m\omega^{2}}{2} x^{2} \tag{3.58} $$ Show that the resulting kernel is (see Prob. 2-2) $$ K(b,a)=F(T)\exp\left\{\frac{i m\omega}{2\hbar \sin \omega T}…

問題 3-7 の解答例

Problem 3-7 Further information about this function $F$ can be obtained from the property expressed by Eq. (2.31). First notice that the results of Prob. 3-6 imply that $F(t_b-t_a)$ can be written as $F(t)$, where $t$ is the time interval …

問題 3-6 の解答例

Problem 3-6 Since the free-particle lagrangian is quadratic, show that (Prob. 2-1) $$ K(b,a)=F(t_b,t_a)\,\exp\left\{\frac{im(x_b-x_a)^{2}}{2\hbar(t_b-t_a)}\right\} \tag{3.52} $$ and give an argument to show that $F$ can depend only on the …

問題 3-5 の解答例

Problem 3-5 Use the results of Prob. 3-2 and Eq. (3.42) to show that the wave function of a free particle satisfies the equation $$ -\frac{\hbar}{i}\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{…

問題 3-3 の解答例

Problem 3-3 By squaring the amplitude given in Eq. (3.20) and then integrating over $x$, show that the probability of passage through the original sharp-edged slit is $$ P(\text{going through})=\frac{m}{2\pi\hbar T} 2b \tag{3.35} $$ In the…

問題 12 - 2 の解答例

Problem 12-2 Show that the constant required to normalize the probability function is $$ \text{const} = \sqrt{\frac{6}{\pi R T^{3}}}\sqrt{\frac{1}{2\pi R T}} \tag{12.77} $$ (解答) § 3.5 ガウス積分, に於いて「経路 $x(t)$ は古典的経路 $\bar{…

式(12.21) $\sim$ 式(12.25) の導出

前述の記事と関連して, 式(12.21)から式(12.25)までの導出過程も示しておこう. 指数関数の級数展開 $e^{A}\simeq 1+A+A^{2}/2!+\dotsb$ で $\displaystyle{A=i\int dt\,k(t)g(t-s)}$ とすると, $$ \begin{align} &1-\exp(A)\simeq 1-1-A-\frac{1}{2!}A^{2}=…

式(12.17)$\sim$式(12. 20) の導出

式(12.17)が成立するのは明らかである ( 同形な積分の$n$個の掛け合わせとなるので, 各々の積分変数を全て $t_i=s$ とすればよい ): $$ \begin{align} \Phi[k(t)]&=\int_0^{T}\frac{dt_1}{T}\int_0^{T}\frac{dt_2}{T}\dotsb \int_0^{T}\frac{dt_n}{T}\,\exp…

式(12.17)$\sim$式(12.21)の修正

§12.3 雑音 に於ける式(12.17)から式(12.21)は 原書と訳本とで異なっている!.校訂版も基本的に原書と同じ表現であり, 修正は無いと言える.それらを分かり易い校訂版の表式で示すと次である: $$ \begin{align} \Phi[k(t)]&=\int_0^{T}\dotsb \int_0^{T}\i…

式(12.58)とデルタ関数の利用法

式(12.58)は, 校訂版では指数部だけの表現に修正され, また$K(\omega)$はその複素共役に変更されている: $$ i\int dt\,k(t)\,f(t)=i\int \frac{d\omega}{2\pi} K^{*}(\omega)\,\phi(\omega) \tag{12.58} $$ この式を導出するにはデルタ関数の性質を利用する…

問題 3-2 の解答例

解答に必要なのは微分することだけだ。問題自体は多くの問題の中で最も易しい方である. Problem 3-2 Show by substitution that the free-particle kernel $K(b,a)$ satisfies the differential equation $$ \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #…

問題 12-1 の解答例

昨日ようやくこの問題の解答を書くことが出来たので, 順番的にはずっと後のものであるが今日提示しておくことにしよう.この問題も自力では解けなかった.参考書を色々見ていたら, 斎藤慶一:「確率と確率過程」§ 3.3 に,「ほぼ解答と思える文章があった」の…

シュモルコフスキー(Smoluchowski)の条件

第12章は「確率論に於ける諸問題」という題になっている.その章の最初でFeynmanは次のように述べている: 前の幾つかの章で多数の量子力学的問題を扱うためにどのようにして経路積分を使うかを述べた.これらの問題はその物理的性質からして確率論的問題で…

問題 3-1 の解答例

Problem 3-1 The probability that a particle arrives at the point $b$ is by definition proportional to the absolute square of the kernel $K(b,a)$. For the free-particle kernel of Eq. (3-3) this is $$ P(b)\ dx = \frac{m}{2\pi\hbar(t_b-t_a)}\…

問題 2-6 の解答例

この問題文は非常に長いので原文よりも訳本の文章を示しておこう.また解答は、T.Jacobson, L.S.Schulman が書いた論文:「Quantum stochastics: the passage from a relativistic to a non-relativistic path integral」を訳したものに, 次の論文 (1). L. H…

Feynman checkerboard

問題 2-6 は「Feynman checkerboard」として今でも論文が書かれる問題のようだ.そこで解答を提示す前に、この問題の意義・内容をより理解する目的で、L.S.Schulmanが 「Techniques and Applications of Path Integration」(Dover Edition) にSupplements と…

問題 2-5 の解答例

この問題文も校訂版を修正したものにする. Problem 2-5 Classically, the energy is defined as $$ E=\dot{x}p-L \tag{2.12} $$ Show that the energy at a final point is $$ \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} E_{b}=\dot{x}_b\left(\ppd…

問題 2-4 の解答例

原書の問題文には問題点があるため、校訂版を更に加筆したものとした. Problem 2-4 Classically, the momentum is defined as $$ \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} p=\ppdiff{L}{\dot{x}} \tag{2.10} $$ Show that the momentum at an fin…

問題 2-3 の解答例

校訂版はこの問題文の表記を変更している.しかしこれ以降で示すブログの解答例は、原則として「原書」の問題文に対してのものにしようと思う.ただし,符号などで校訂版の方が良いと判断されるなどの場合は例外とする.また,これ以降は問題文も原則として原…

問題 2-2 の解答例

【問題 2−2】調和振動子の場合$L=(m/2)(\dot{x}^{2}-\omega^{2}x^{2})$である.$T=t_b-t_a$として古典的作用が $$ S_{cl}=\frac{m\omega}{2\sin \omega T}\Bigl[ (x_a^{2}+x_b^{2})\cos\omega T -2 x_a x_b \Bigr] \tag{2.9} $$ であることを示せ. ( 解答…

問題 2-1 の解答例

ファインマン& ヒッブス著「量子力学と経路積分」には、問題が122問も存在している.それらに対して,今日から自己流に考えた解答例を順に書いて行こうと思う. (参考) 校訂者のDaniel F. Styer 氏のホームページには Difficult points として次の問題には解…

たたみ込みの可換性

原書及び訳本では、式(12.45)の前で「関数$B$は相関関数$A$の逆であること」,すなわち,次のような「たたみ込み」(convolution)の関係式が成り立つと書いてある: $$ A(t)*B(t)\equiv \int ds\, B(t-s)A(s)=\delta (t) \tag{1} $$ これを校訂版では次式のよう…

特性汎関数について

「特性汎関数」が式(12.12)で次のように定義されている: $$ \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \Phi[k(t)]=\frac{\ds{\int \mathscr{D}f(t)\,P[f(t)]\exp\left[i\int dt\,k(t)f(t)\right]}}{\ds{\int \mathscr{D}f(t)\,P[f(t)]}} \tag{12.12} $…

Poisson分布と指数分布

第12章は「関数の確率」が経路積分によって議論できることを述べている. その導入部で,次のような意味の文章が書かれてある:「離散的事象がランダムに起こっている例として,宇宙線が検出器に入射する場合がある.粒子が平均計測率$\mu$で降下すると,任意の…

式(5.17)について

約1ヶ月ぶりに書く記事である.今は第12章「確率論に於ける諸問題」に取り組んでいるのだが、学生時代から確率・統計は非常に苦手なので、例によって式を理解するのに大分苦労している.そのために多くの参考書を見ながら再勉強している訳である. その中で…