Problem 3-7 Further information about this function $F$ can be obtained from the property expressed by Eq. (2.31). First notice that the results of Prob. 3-6 imply that $F(t_b-t_a)$ can be written as $F(t)$, where $t$ is the time interval …

Problem 3-6 Since the free-particle lagrangian is quadratic, show that (Prob. 2-1) $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #…

Problem 3-5 Use the results of Prob. 3-2 and Eq. (3.42) to show that the wave function of a free particle satisfies the equation $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|…

Problem 3-4 Suppose a free particle has a definite momentum at the time $t=0$ ( that is, the wave function is $Ce^{i(p/\hbar)x}$ ). With the help of Eqn. (3.3) and (3.42), show that at some later time the particle has the same definite mom…

Problem 3-3 By squaring the amplitude given in Eq. (3.20) and then integrating over , show that the probability of passage through the original sharp-edged slit is \begin{equation} P(\text{going through})=\frac{m}{2\pi\hbar T} 2b \tag{3.35…

Problem 12-2 Show that the constant required to normalize the probability function is \begin{equation} \text{const} = \sqrt{\frac{6}{\pi R T^{3}}}\sqrt{\frac{1}{2\pi R T}} \tag{12.77} \end{equation} (解答) § 3.5 ガウス積分, に於いて「経路 …

前述の記事と関連して, 式(12.21)から式(12.25)までの導出過程も示しておこう． 指数関数の級数展開 $e^{A}\simeq 1+A+A^{2}/2!+\dotsb$ で $\displaystyle{A=i\int dt\,k(t)g(t-s)}$ とすると, $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#…

式(12.17)が成立するのは明らかである ( 同形な積分の$n$個の掛け合わせとなるので, 各々の積分変数を全て $t_i=s$ とすればよい )： $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#…

式(12.20)などを導出するもう一つの準備として, 不規則信号を電気回路などに加えた場合の出力信号の性質について調べてみよう．この記事は, 佐藤拓宋：「電気系の確率と統計」§ 7.4 から抜粋してまとめたものである． 線形変換 (linear transformation) 入力…

式(12.20)などを導出する前に, その物理的背景である「ショット効果雑音」について書いておこう．以下の記事は, 小倉久直：「確率過程論」の§ 9.2 及び佐藤拓宋：「電気系の確率と統計」そして霜田光一：「エレクトロニクスの基礎」からの抜粋をまとめたもの…

式 (12.58) は, 校訂版では指数部だけの表現に修正され, また $K(\omega)$ はその複素共役に変更されている： $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#…

前述の問題3-2で「振幅 $K(b,a)$ はシュレディンガー方程式を満たす特殊な波動関数と見做すことが出来る」ことを確認した．これはどう言う事なのだろうか？. J.J.Sakurai ：「現代の量子力学」の § 2.5 は「プロパゲーターとファインマンの経路積分」となっ…

解答に必要なのは微分することだけだ。問題自体は多くの問題の中で最も易しい方である． Problem 3-2 Show by substitution that the free-particle kernel $K(b,a)$ satisfies the differential equation $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} …