ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

問題9-8中の振動子波動関数について

問題文の中で振動子に対する波動関数校訂版では$\phi_1(x)=\sqrt{2}x\phi_0(x)$と修正している.これについて考えてみる.振動子の波動関数は式(8-17)$\sim$式(8-19)から $$ \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}} \def\Braket#1#2#3{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2|#3\right\rangle}}\\ \begin{align} &\phi_0(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{¼}\exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}x^{2}\right),\quad \phi_1(x)=\sqrt{\frac{2m\omega}{\hbar}}x\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{¼}\exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}x^{2}\right)\\ &\therefore\quad \phi_1=\sqrt{\frac{2m\omega}{\hbar}}x\,\phi_0(x) \end{align} $$ よって$\displaystyle{\phi_1=\sqrt{\frac{2m\omega}{\hbar}}x\,\phi_0(x)}$の関係がある.この場合$x=Q_{\alpha}$で基底状態を$\Phi_{0}$とする.すると前述から$\displaystyle{\Phi_1=C Q_{\alpha}\,\Phi_0(x)}$と仮定してよいであろう.そこで$\Phi_1$の規格化条件を考えてみる.問題8-5の式(8-85)を用いると, $$ \begin{align} \braket{\Phi_1}{\Phi_1}&=C^{*}C\Braket{\Phi_0}{Q_{\alpha}^{*}Q_{\alpha}}{\Phi_0}=|C|^{2} \Braket{\Phi_{0}}{Q_{\alpha}^{*}Q_{\alpha}}{\Phi_0}\notag=|C|^{2}\frac{\hbar}{2\omega_{\alpha}}\Braket{\Phi_0}{1}{\Phi_{0}}\notag\\ &=|C|^{2}\frac{\hbar}{2\omega_{\alpha}}=1 \end{align} $$ 従って$\omega_{\alpha}=kc$を用いるならば,定数$C$は次であることが分かる: \begin{equation} C=\sqrt{\frac{2\omega_{\alpha}}{\hbar}}=\sqrt{\frac{2kc}{\hbar}} \end{equation} これは,問題文で提示されている規格化因子$\sqrt{2kc/\hbar}$に一致したものになることが分かる.よって問題自体は定数を$\sqrt{2}$と特定しなくても回答できた.従って,ここは単に「定数を$C$として$\phi_1(x)=Cx\phi_0(x)$である」と修正するだけでもよかったのではないかと思われた.