ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

wxMaximaを使う

式(11.69)を証明するために次式が言えることを示す必要があった: $$ \int_0^{\beta}dt\int_0^{\beta}ds\,\left[x^{2}(t)-x^{2}(s)\right]\,e^{-w|t-s|}=0 \tag{1} $$ しかし数学能力に乏しい者にとって,これを直接的に示すことは難しい!.そこで姑息ながら数式処理ソフトを使って間接的に成り立つことを確認しようと考えて,前に紹介したインターネットサイトのWolframAlphaを利用しようとしたが,使い方に詳しくないのでフリーの範囲では上手く出来なかった.

そのため,今度は数式処理のフリーソフトであるwwMaximaを利用することにした.例えば,最も簡単な場合として$x(t)=t,\,x(s)=s$のときの式(1)を考えると, $$ \begin{align} I&=\int_0^{\beta}dt\int_0^{\beta}ds\,\left[t^{2}-s^{2}\right]\,e^{-w|t-s|}\notag\\ &=\int_0^{\beta}dt\int_0^{t}ds\,\left[t^{2}-s^{2}\right]\,e^{-w(t-s)}+\int_0^{\beta}dt\int_t^{\beta}ds\,\left[t^{2}-s^{2}\right]\,e^{-w(s-t)} \tag{2} \end{align} $$ となるから,これをwxMaximaで式展開するには,例えば次のように入力してみれば良いであろう:

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この結果を見ると大変複雑そうであるが,それは式の表示をwxMaximaがあまり賢くしてくれないせいである.例えば$\%e^{\log(e)wB}$は単に$e^{wB}$であるし$\log(e)^{2}$は$2\log e=2$などと読み直す必要がある.そのようにして最後の結果式を読むならば次のようにゼロとなることが分かる: $$ I=-\frac{B^{2}}{2w^{2}}+\frac{2B}{3w^{3}}-\frac{2}{4w^{4}}+\frac{B^{2}}{2w^{2}}+\frac{2B}{3w^{3}}+\frac{2}{4w^{4}}-\frac{4B}{3w^{3}}=0 $$ このようにして,一応は式(1)が成立するらしいことを確認したのであった.数学的にキチンとした証明が出来る方が居られたら御教授お願い致します。