問題 3-4 の解答例
Problem 3-4
Suppose a free particle has a definite momentum at the time $t=0$ ( that is, the wave function is $Ce^{i(p/\hbar)x}$ ). With the help of Eqn. (3.3) and (3.42), show that at some later time the particle has the same definite momentum ( i.e., the wave function depends on $x$ through the function $e^{i(p/\hbar)x}$) and varies in time as $e^{-(i/\hbar)(p^{2}/2m)t}$. This means that the particle has the definite energy $p^{2}/2m$.
( 解答 ) 題意に合わせて, 始状態の波動関数を $\psi(x_0)=Ce^{ipx_0/\hbar}=Ce^{ikx_0}$ とする．ただし $p=\hbar k$ である．また, 式 (3.42) の振幅 $K(x,t;x_0,0)$ には自由粒子核の式 (3.39) を用いる．すると, 後の時刻 $t$ に於ける波動関数 $\psi(x,t)$ は次のように表される： $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} $
\begin{align}
\psi(x,t)&=\int_{-\infty}^{\infty} dx_0\,K(x,t;x_0,0)\,\psi(x_0)\notag\\
&=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar t}}\int_{-\infty}^{\infty} dx_0\,
\exp\left[i\frac{m(x-x_0)^{2}}{2\hbar t}\right]\,Ce^{ikx_0}
\tag{1}
\end{align}
ここで
\begin{equation}
A=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar t}},\quad \beta=\frac{m}{2\hbar t}
\tag{2}
\end{equation}
とすると,
\begin{align}
\psi(x,t)&=AC\int_{-\infty}^{\infty} dx_0 \, e^{i\beta(x-x_0)^{2}+ikx}\notag\\
&=AC\,e^{i\beta x^{2}}\int_{-\infty}^{\infty} dx_0 \, e^{i\beta x_0^{2}+i(k-2\beta x)x_0}
\tag{3}
\end{align}
この積分部分$I$を, 巻末付録の次の公式
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{a x^{2}+b x}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{-a}}\,e^{-b^{2}/4a}
\tag{4}
\end{equation}
を利用して実行するならば, この場合 $a\to i\beta$, $b\to i(k-2\beta)$であるから,
\begin{align}
I&=\sqrt{\frac{i\pi}{\beta}}\exp\left\{\frac{-i(k-2\beta x)^{2}}{4\beta}\right\}\notag\\
&=\frac{1}{A}\exp\left(-i\beta x^{2}+i k x-\frac{i k^{2}}{4\beta}\right)
\tag{5}
\end{align}
よって,
\begin{align}
\psi(x,t)&=A C\frac{1}{A}\exp\Bigl(i\beta x^{2}\Bigr)\exp\left(-i\beta x^{2}+i k x-i\frac{\hbar k^{2}}{2m}t\right)\notag\\
&=C\exp\left(i\frac{p}{\hbar} x-\frac{i}{\hbar}\frac{p^{2}}{2m}t\right)
\tag{6}
\end{align}
これは, 一定の運動量 $p=\hbar k$ と一定のエネルギー $E=\hbar\omega=p^{2}/2m$ を持つ自由粒子の波動関数になっている．
