問題 4-1 の解答例
Problem 4-1
Show that for a single particle moving in three dimensions in a potential energy $V(\mathbf{x},t)$ the Schrödinger equation is
\begin{equation} -\frac{\hbar}{i}\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\psi+V\,\psi \tag{4.13} \end{equation}This equation was discovered by Schrödinger in 1925 and formed the central feature of the development of quantum mechanics thereafter.
(解答) これは本文の1次元での議論を3次元に拡張するだけでよい．3次元でのポテンシャル $V(\mathbf{x},t)$ の中を運動する粒子に対するラグランジアンは
$$ \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} L=\frac{m}{2}\dot{\mb{x}}^{2}-V(\mb{x},t) $$
であり, 式(4.5)に対応する式は $y$ をベクトル化して $\mb{y}=\mb{x}+\mb{\theta}$ を考えると( $\mb{\theta}$ はゴシック体にうまく表示できていないが3次元ベクトルである), 次である：
\begin{equation*}
\psi(\mb{x},t+\varepsilon)=\int_{-\infty}^{\infty}d^{3}\theta\,\reverse{A}\exp\left\{i\frac{m}{2\hbar\varepsilon}\mb{\theta}^{2}\right\}
\exp\left\{-\frac{i\varepsilon}{\hbar}V\left(\mb{x}+\frac{\mb{\theta}}{2},t\right)\right\}\psi(\mb{x}+\mb{\theta},t)
\tag{1}
\end{equation*}
そして式(4.6)に対応する式は, 次となる：
\begin{align*}
\psi(\mb{x},t)+\varepsilon\ppdiff{\psi}{t}&=\int_{-\infty}^{\infty}d^{3}\theta\,\reverse{A}\exp\left\{
i\frac{m}{2\hbar\varepsilon}\mb{\theta}^{2}\right\}\left[1-\frac{i\varepsilon}{\hbar}V(\mb{x},t)\right]\times\left[\psi(\mb{x},t)
+\mb{\theta}\cdot\nabla\psi+\reverse{2}(\mb{\theta}\cdot\nabla)^{2}\psi\right]
\tag{2}
\end{align*}
この右辺を展開したときの主要項は次の積分となる：
\begin{equation*}
\reverse{A}\int_{-\infty}^{\infty}d^{3}\theta\,\exp\left\{i\frac{m}{2\hbar\varepsilon}\mb{\theta}^{2}\right\}
=\reverse{A}\left(\frac{2\pi i\hbar\varepsilon}{m}\right)^{3/2}=1
\tag{3}
\end{equation*}
従って,
\begin{equation*}
A=\left(\frac{2\pi i\hbar\varepsilon}{m}\right)^{3/2}
\tag{4}
\end{equation*}
また, 式(4.9)に対応する式を考えると,
\begin{align*}
&\int_{-\infty}^{\infty}d^{3}\theta\,\reverse{A}\exp\left(i\frac{m}{2\hbar\varepsilon}\mb{\theta}^{2}\right)
\,\mb{\theta}\cdot\nabla\psi\\
&=\iiint d\theta_x d\theta_y d\theta_z\,\reverse{A}\exp\left\{i\frac{m}{2\hbar\varepsilon}(\theta_x^{2}+\theta_y^{2}+\theta_z^{2})\right\}\left(\theta_x \ppdiff{\psi}{x}+\theta_y \ppdiff{\psi}{y}
+\theta_z \ppdiff{\psi}{z}\right)
\tag{5}
\end{align*}
この3重積分は変数分離が可能である．そこで, 例えば $\theta_x$ についての積分部分を考えると,
\begin{align*}
&\reverse{A}\int_{-\infty}^{\infty}d\theta_x\,e^{im\theta_{x}^{2}/2\hbar\varepsilon}\theta_x\ppdiff{\psi}{x}
+\reverse{A}e^{im(\theta_y^{2}+\theta_z^{2})/2\hbar\varepsilon}\ppdiff{\psi}{x}\int_{-\infty}^{\infty}\theta_x\,d\theta_x\\
&=\reverse{A}\ppdiff{\psi}{x}\int_{-\infty}^{\infty}d\theta_x\,e^{im\theta_x^{2}/2\hbar\varepsilon}\theta_x
+\reverse{A}e^{im(\theta_y^{2}+\theta_z^{2})/2\hbar\varepsilon}\ppdiff{\psi}{x}\int_{-\infty}^{\infty}\theta_x\,d\theta_x=0
\tag{6}
\end{align*}
このとき, 第1項は式(4.9)よりゼロであるし, 第2項は積分の被積分関数が奇関数であることより明らかにゼロとなるので, 式全体がゼロとなる．残りの変数 $\theta_y$ と$\theta_z$ についても全く同様なことになるので, 結局は上述の式はゼロとなる：
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty}d^{3}\theta\,\reverse{A}\exp\left(i\frac{m}{2\hbar\varepsilon}
\mb{\theta}^{2}\right)\,\mb{\theta}\cdot\nabla\psi=0
\tag{7}
\end{equation*}
また, 式(4.10)に対応する式を考えると,
\begin{align*}
&\int_{-\infty}^{\infty}d^{3}\theta\,\reverse{A}\exp\left(i\frac{m}{2\hbar\varepsilon}\mb{\theta}^{2}
\right)\,\reverse{2}(\mb{\theta}\cdot\nabla)^{2}\psi\\
&=\reverse{2A}\iiint d\theta_xd\theta_yd\theta_z\,\exp\left\{i\frac{m}{2\hbar\varepsilon}\left(
\theta_x^{2}+\theta_y^{2}+\theta_z^{2}\right)\right\}\left(\theta_x\ppdiff{\psi}{x}+\theta_y\ppdiff{\psi}{y}
+\theta_z\ppdiff{\psi}{z}\right)^{2}
\tag{8}
\end{align*}
前と同様に, $\theta_x$ についての積分部分を考えると,
\begin{align*}
&\reverse{A_x}\int_{-\infty}^{\infty}d\theta_x\,e^{im\theta_x^{2}/2\hbar\varepsilon}\theta_x^{2}
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\frac{e^{im(\theta_y^{2}+\theta_z^{2})/2\hbar\varepsilon}}{A_x}
\int_{-\infty}^{\infty}d\theta_x\,2\theta_x\left(\theta_y\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x\partial y}+\theta_z
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x\partial z}\right)\\
&=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}\reverse{A_x}\int_{-\infty}^{\infty}d\theta_x\,
e^{im\theta_x^{2}/2\hbar\varepsilon}\theta_x^{2}+\frac{2e^{im(\theta_y^{2}+\theta_z^{2})/2\hbar\varepsilon}}{A_x}
\left(\theta_y\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x\partial y}+\theta_z\frac{\partial^{2}\psi}
{\partial x\partial z}\right)\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\theta_x\,d\theta_x}_{=0}\\
&=\frac{i\hbar\varepsilon}{m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}
\tag{9}
\end{align*}
残りの変数 $\theta_y$ と $\theta_z$ についても全く同様なことになるので, 結局は上述の式(8)は次となる：
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty}d^{3}\theta\,\reverse{A}\exp\left(i\frac{m}{2\hbar\varepsilon}\mb{\theta}^{2}\right)\,
\reverse{2}(\mb{\theta}\cdot\nabla)^{2}\psi
=\frac{i\hbar\varepsilon}{2m}\left(\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}
+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial z^{2}}\right)=\frac{i\hbar\varepsilon}{2m}\nabla^{2}\psi
\tag{10}
\end{equation*}
すると式(4.6)に対応する式(2)の右辺は次となる：
\begin{align*}
&\int_{-\infty}^{\infty}d^{3}\theta\,\reverse{A}\exp\left\{i\frac{m}{2\hbar\varepsilon}\mb{\theta}^{2}
\right\}\left[1-\frac{i\varepsilon}{\hbar}V(\mb{x},t)\right]\times\left[\psi(\mb{x},t)
+\mb{\theta}\cdot\nabla\psi+\reverse{2}(\mb{\theta}\cdot\nabla)^{2}\psi\right]\\
&=\psi+\frac{i\hbar\varepsilon}{2m}\nabla^{2}\psi-\frac{i\varepsilon}{\hbar}V\left\{\psi
+\frac{i\hbar\varepsilon}{2m}\nabla^{2}\psi\right\}
=\psi+\frac{i\hbar\varepsilon}{2m}\nabla^{2}\psi-\frac{i\varepsilon}{\hbar}V\psi
+\frac{\varepsilon^{2}}{2m}\nabla^{2}\psi
\tag{11}
\end{align*}
ただし最後の項は $\varepsilon$ について2次であるので無視する．この結果から式(4.6)に対応する式は次となる：
\begin{equation*}
\psi+\varepsilon\ppdiff{\psi}{t}=\psi+\frac{i\hbar\varepsilon}{2m}\nabla^{2}\psi-\frac{i\varepsilon}{\hbar}V\psi
\tag{12}
\end{equation*}
この式中で $\varepsilon$ の1次の項を集めた式は,
\begin{equation*}
\ppdiff{\psi}{t}=\frac{i\hbar}{2m}\nabla^{2}\psi-\frac{i}{\hbar}V\psi,
\tag{13}
\end{equation*}
これの両辺に $-\hbar/i$ を掛け合わせるならば, 問題文のシュレディンガー方程式(4.13)を得る：
\begin{equation*}
-\frac{\hbar}{i}\ppdiff{\psi}{t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\psi+V\psi
\tag{14}
\end{equation*}
