問題 4-9 の解答例
Problem 4-9
Show from the fact that $H$ is hermitian that Eq. (4-46) holds. $\ \ $ [ Choose $f=\phi_2$, $g=\phi_1$ in Eq. (4-30). ]
$ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} $ (解答) ヒントに従って, 式 (4.30) に於いて $f=\phi_2$, $g=\phi_1$と置く．それに, 式 (4.42) の関係：$H\phi=E\,\phi$ と前問の結果：$E^{*}=E$ を利用するならば,
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty}dx\,(H\phi_1)^{*}\phi_2=\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\phi_1^{*}(H\phi_2),
\ \rightarrow\ \int_{-\infty}^{\infty}dx\,(E_1\phi_1)^{*}\phi_2
=\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\phi_1^{*}(E_2\phi_2),\notag\\
&\rightarrow\ E^{*}_{1}\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\phi_1^{*}\phi_2=E_2\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\phi_1^{*}\phi_2,\
\rightarrow\ (E_1-E_2)\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\phi_1^{*}\phi_2=0
\tag{1}
\end{align}
従って $\ E_1\neq E_2$ であるならば, 次式が成り立つべきである：
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\phi_1^{*}\phi_2=0\,.
\tag{2}
\end{equation}
同様に, $f=\phi_1,\ g=\phi_2$と置くことで次も示される：
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\phi_2^{*}\phi_1=0\,.
\tag{3}
\end{equation}
以上から, $\ E_1\neq E_2$ で波動関数 $\phi_1$ と $\phi_2$ が異なるエネルギー固有関数であるならば, 式 (4-46) が成立し状態 $\phi_1$ と $\phi_2$ は「直交する」と言える：
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}dx\, \phi_1^{*}\phi_2=\int_{-\infty}^{\infty}dx\, \phi_1\phi_2^{*}=0
\tag{4}
\end{equation}
