問題 4-8 の解答例
Problem 4-8
Show from the fact that $H$ is hermitian that $E$ is real. $\ \ $ [ Choose $f=g=\phi$ in Eq. (4-30). ]
$ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} $ (解答) ヒントに従って, 式 (4.30) に於いて $f=g=\phi$と置く．それに, 式 (4.42) の関係：$H\phi=E\,\phi$ を利用すると,
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} dx\,(H\phi)^{*}\,\phi =\int_{-\infty}^{\infty} dx\,\phi^{*}\,(H\phi),\quad\rightarrow\quad
\int_{-\infty}^{\infty} dx\,(E\,\phi)^{*}\,\phi =\int_{-\infty}^{\infty} dx\,\phi^{*}\,E\,\phi\,.
\end{equation}
ここで $E$ 及び $E^{*}$ は定数であるから, それらは積分の外に出せて,
\begin{equation}
E^{*}\int_{-\infty}^{\infty} dx\,\phi^{*}\,\phi =E\int_{-\infty}^{\infty} dx\,\phi^{*}\,\phi\,.
\end{equation}
従って $E^{*}=E$ である． よって $E$ は実数でなければならない．
