問題 5-6 の解答例
Problem 5-6
Suppose $A$, $B$, and $C$ are the three cartesian components of momentum $p_x$, $p_y$, $p_z$. What is the form of the function $\chi_{a,b,c}(x,y,z)$ ? Using the results of Sec. 5-2, verify the relations obtained in Sec. 5-1.
(解答) § 5-1 に於いて, 式 (5-36) に対応するのは式 (5-6) または式 (5-7) である： $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} $
\begin{align}
F_{a,b,c}&=\int_{-\infty}^{\infty} dx\,\chi_{a,b,c}^{*}(x)\,f(x),\notag\\
\rightarrow\quad \phi(\mb{p})&=\int_{-\infty}^{\infty} d^{3}\mb{r}\,\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\mb{p}\cdot\mb{r}\right]\,f(\mb{r})\notag\\
&=\int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty} dy \int_{-\infty}^{\infty} dz\,\exp\left[-\frac{i}{\hbar}(p_x x +p_y y + p_z z)\right]\,f(x,y,z)
\label{eq1}
\end{align}
従って, 式 (5-33) : に相当する式, 及び式 (5-36) に相当する量 $F_{a,b,c}$ は次であると言える：
\begin{align}
&g^{*}(x)=\chi^{*}_{a,b,c}(x)=\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\mb{p}\cdot\mb{r}\right]\ \rightarrow\ \chi_{a,b,c}(x,y,z)=\exp\left[\frac{i}{\hbar}\mb{p}\cdot\mb{r}\right],
\label{eq2}\\
&F_{a,b,c}=\phi(p_{x},p_{y},p_{z})=\phi(\mb{p})
\label{eq3}
\end{align}
式 (5-37) は次であった：
\begin{equation}
f(x,y,z)=\sum_{a}\sum_{b}\sum_{c} F_{a,b,c}(a,b,c)\,\chi_{a,b,c}(x,y,z)
\tag{5-37}
\end{equation}
しかし, この場合には和を積分に置き換えた式とすべきである：
\begin{equation}
f(x,y,z)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d^{3}\mb{p}}{(2\pi\hbar)^{3}}\,F_{a,b,c}(a,b,c)\,\chi_{a,b,c}(x,y,z)
\tag{5-37'}
\end{equation}
この $f(x,y,z)$ に式 \eqref{eq2}, 式 \eqref{eq3} の各量を代入すると次となる：
\begin{align}
f(x,y,z)&=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d^{3}\mb{p}}{(2\pi\hbar)^{3}}\,F_{a,b,c}(a,b,c)\,\chi_{a,b,c}(x,y,z)
=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d^{3}\mb{p}}{(2\pi\hbar)^{3}}\,\phi(\mb{p})\,\exp\left[\frac{i}{\hbar}\mb{p}\cdot\mb{r}\right]\notag\\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d^{3}\mb{p}}{(2\pi\hbar)^{3}}\,\exp\left[\frac{i}{\hbar}\mb{p}\cdot\mb{r}\right]\,\phi(\mb{p})
=\psi(\mb{R})
\tag{5-8}
\end{align}
よって, 式 (5-7) 即ち式 \eqref{eq1} の逆変換となる式 (5-8) の $\psi(\mb{R})$ に一致することが確認できた．
次に, 式 (5-35) に相当する式も検討して見よう:
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\chi^{*}_{a,b,c}(x)\chi_{a^{'},b^{'},c^{'}}(x)=\delta(a-a^{'})\,\delta(b-b^{'})\,\delta(c-c^{'})
\tag{5-35}
\end{equation}
この場合は $\chi_{a,b,c}(x)=\chi_{p_x,p_y,p_z}(x,y,z)$ であり, その規格化因子として $(2\pi\hbar)^{-3/2}$ を用いるならば,
\begin{equation}
\chi_{p_x,p_y,p_z}(x,y,z)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\exp\left[\frac{i}{\hbar}(p_x x + p_y y + p_z z)\right]
=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\exp\left[\frac{i}{\hbar}\mb{p}\cdot\mb{r}\right]
\label{eq4}
\end{equation}
さらに, デルタ関数の定義式の一つである次を用いる：
\begin{equation}
\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ik x}dk,\quad \delta(ax)=\frac{1}{a}\delta(x),\ \rightarrow\ \int_{-\infty}^{\infty} e^{ipx/\hbar}\,dx=2\pi\hbar\delta(p)
\label{eq5}
\end{equation}
従って,
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}dx\int_{-\infty}^{\infty}dy\int_{-\infty}^{\infty}dz\,\exp\left[\mfrac{i}{\hbar}(p_x x+p_y y+ p_z z)\right]
=(2\pi\hbar)^{3}\delta(p_x)\delta(p_y)\delta(p_z)
\label{eq6}
\end{equation}
上式 \eqref{eq4} と式 \eqref{eq6} を式 (5-35) の左辺に代入すると,
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty}dx\int_{-\infty}^{\infty}dy\int_{-\infty}^{\infty}dz\,\chi^{*}_{p_{x},p_{y},p_{z}}(x,y,z)\,\chi_{p^{'}_{x},p^{'}_{y},p^{'}_{z}}(x,y,z)\notag\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}d^{3}\mb{r}\,\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\mb{p}\cdot\mb{r}\right]
\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\exp\left[\frac{i}{\hbar}\mb{p}^{'}\cdot\mb{r}\right]\notag\\
&=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3}}\int_{-\infty}^{\infty}d^{3}\mb{r}\,\exp\left[\frac{i}{\hbar}(\mb{p}^{'}-\mb{p})\cdot\mb{r}\right]\notag\\
&=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3}}(2\pi\hbar)^{3}\delta(p^{'}_x-p_x)\delta(p^{'}_y-p_y)\delta(p^{'}_z-p_z)\notag\\
&=\delta(p^{'}_x-p_x)\delta(p^{'}_y-p_y)\delta(p^{'}_z-p_z)=\delta(p_x-p^{'}_x)\delta(p_y-p^{'}_y)\delta(p_z-p^{'}_z)
\label{eq7}
\end{align}
よって, 運動量の場合にも式 (5-35) に相当する式が成り立っていることが確認できた．
