式 (12-17) から式 (12-21) までの表式について

原書とその和訳本では, 式 (12-17) から式 (12-21) が異なった表現になっている．例えば, 式 (12-17) について和訳本の方の式番号にはダッシュを付けて書くと次である： $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\ket#1{|#1\rangle} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\PKB#1#2{|#1\rangle\langle #2|} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} $

\begin{align} \Phi[k(t)]&=\int_0^{T}\mfrac{dt_1}{T}\int_0^{T}\mfrac{dt_2}{T}\dotsb\int_0^{T}\mfrac{dt_n}{T} \,\exp\left[i\sum_{j=1}^{n}\int dt\,k(t)g(t-t_j)\right]\notag\\ &=\left[\int_0^{T}\mfrac{ds}{T}\,\exp\left\{i\int dt\,k(t+s)g(t)\right\}\right]^{n} \equiv A^{n} \tag{12.17}\\ \Phi[k(t)]&=\int_0^{T}\mfrac{dt_1}{T}\int_0^{T}\mfrac{dt_2}{T}\dotsb\int_0^{T}\mfrac{dt_n}{T} \,\exp\left[i\sum_{j=1}^{n}\int dt\,k(t)g(t-t_j)\right]\notag\\ &=\left[\int_0^{T}\mfrac{ds}{T}\,\exp\left\{i\int dt\,k(t)g(t-s)\right\}\right]^{n} \equiv A^{n} \tag{12.17'} \end{align}

すなわち, 上記の表式に於ける因子$k(t+s)g(t)$が和訳本では全て$k(t)g(t-s)$となっているのである．これは訳者が修正して記述したようである．式 (12.17) を導出することで, その理由を見て行こう．

まず, 式 (12.16) は次に書ける：

\begin{align} \Phi[k(t)]&=\exp\left[ i\int dt\,k(t)F(t)\right] =\exp\left[ i\int_{-\infty}^{\infty} dt\,k(t)\sum_{j=1}^{n}g(t-t_j)\right]\notag\\ &=\exp\left[i\sum_{j=1}^{n}\int_{-\infty}^{\infty} dt\,k(t)\,g(t-t_j)\right] \tag{12.16'} \end{align}

従って, $n$ 個の事象が時間間隔 $T$ 全体に一様な確率 $dt/T$ でランダムに分布しているとした場合の特性汎関数の式 (12.17) は次のように書ける：

\begin{align} &\Phi[k(t)]=\int_0^{T}\mfrac{dt_1}{T}\int_0^{T}\mfrac{dt_2}{T}\dotsb\int_0^{T}\mfrac{dt_n}{T}\,\exp\left[i\sum_{j=1}^{n}\int dt\,k(t)g(t-t_j)\right]\notag\\ &=\int_0^{T}\mfrac{dt_1}{T}\exp\left\{i\int dt\,k(t)g(t-t_1)\right\}\times \cdots \times \int_0^{T}\mfrac{dt_n}{T}\exp\left\{i\int dt\,k(t)g(t-t_n)\right\}\notag\\ &=\left[\int_0^{T}\mfrac{ds}{T}\,\exp\left\{i\int dt\,k(t)g(t-s)\right\}\right]^{n}\equiv A^{n} \tag{12.17'} \end{align}

ただし各 $dt_i$ 積分は全て同形なので, 積分変数を $s=t_1=t_2=\dotsb=t_n$ とした．これが和訳本の式である．

それに対して原書では, 「 積分区間が $[-\infty,\infty]$ の場合, 積分変数を $t_i$ だけズラしても積分結果は変わらない」ことから, この場合の積分因子は次のように書き換えることが出来ることを利用していると思われる：

\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} dt\,k(t)\,g(t-t_i)=\int_{-\infty}^{\infty} dt' k(t'+t_i)\,g(t') \label{eq1} \end{equation}

すると, このときの式 (12.16) は次に書ける：

\begin{align} \Phi[k(t)]&=\exp\left[ i\int dt\,k(t)F(t)\right] =\exp\left[ i\int_{-\infty}^{\infty} dt\,k(t)\sum_{j=1}^{n}g(t-t_j)\right]\notag\\ &=\exp\left[i\sum_{j=1}^{n}\int_{-\infty}^{\infty} dt\,k(t)\,g(t-t_j)\right]\notag\\ &=\exp\left[i\sum_{j=1}^{n}\int_{-\infty}^{\infty} dt\,k(t+t_j)\,g(t)\right] \tag{12.16} \end{align}

従って, このときの特性汎関数の式 (12.17) は次のように書ける：

\begin{align} &\Phi[k(t)]=\int_0^{T}\mfrac{dt_1}{T}\int_0^{T}\mfrac{dt_2}{T}\dotsb\int_0^{T}\mfrac{dt_n}{T}\,\exp\left[i\sum_{j=1}^{n}\int dt\,k(t+t_j)g(t)\right]\notag\\ &\ =\int_0^{T}\mfrac{dt_1}{T}\exp\left\{i\int dt\,k(t+t_1)g(t)\right\}\times \cdots \times \int_0^{T}\mfrac{dt_n}{T}\exp\left\{i\int dt\,k(t+t_n)g(t)\right\}\notag\\ &\ =\left[\int_0^{T}\mfrac{ds}{T}\,\exp\left\{i\int dt\,k(t+s)g(t)\right\}\right]^{n}\equiv A^{n} \tag{12.17} \end{align}

同様な書き換えが式 (12-21) までの式の全てに行える．それ以降の議論では和訳本の方が利用しやすい式になっているようだが, 何方で議論しても良いと思われた．