式 (12-110) の導出
式 (12-110) は, 前に書いた記事の公式 (A.12) を用いれば解けそうと思ったがダメだった．それで, 予定外ではあるが, 悪戦苦闘した式 (12-110) の導出過程を書いておこう．
式 (12.108) に於いて $\alpha(t,t')=\alpha(t-t')=\alpha(\theta)$ そして $\nu=E_m-E_n$ とすると, $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\ket#1{|#1\rangle} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\PKB#1#2{|#1\rangle\langle #2|} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} $
\begin{align}
P(n\to m)&=2\left|q_{mn}\right|^{2}\ \text{Re} \left\{\int_0^{T} dt\int_0^{t}dt'\, \alpha(t-t')\,e^{-i(E_m-E_n)(t-t')}\right\}\notag\\
&=2\left|q_{mn}\right|^{2}\ \text{Re} \left\{\int_0^{T} dt\int_0^{t}dt'\, \alpha(t-t')\,e^{-i\nu(t-t')}\right\}
\label{1}
\end{align}
この積分項を次のように書いてみる：
\begin{align}
&\int_0^{T} dt\int_0^{t}dt'\,\alpha(t-t')\,e^{-i\nu(t-t')}\notag\\
&=\int_0^{T} dt\left\{\int_0^{t}dt'\,\alpha(t-t')\,e^{-i\nu(t-t')}+\int_{t}^{T}dt'\,\alpha(t-t')\,e^{-i\nu(t-t')}-\int_{t}^{T}dt'\,\alpha(t-t')\,e^{-i\nu(t-t')}\right\}
\notag\\
&=\int_0^{T} dt\left\{ \int_0^{T}dt'\,\alpha(t-t')\,e^{-i\nu(t-t')}-\int_{t}^{T}dt'\,\alpha(t-t')\,e^{-i\nu(t-t')}\right\}\notag\\
&=\int_0^{T} dt\int_0^{T}dt'\,\alpha(t-t')\,e^{-i\nu(t-t')}-\int_0^{T} dt\int_{t}^{T}dt'\,\alpha(t-t')\,e^{-i\nu(t-t')}
\label{2}
\end{align}
このとき, 第 2 項の $dt'$ 積分に於いては, 変数 $t'$ の積分区間が $t<t'<T$ であるから $t-t'<0$ である．ところが, 本文によれば「 $\alpha(t)$ は $t<0$ のとき定義されない」．よって, 「第2項は無視してゼロとしてしまおう！」．更に, 第 1 項の $dt$ 積分は $T\to \infty$ とするならば, 式 (12.109) の $a(\nu)$ の定義式そのものである：
\begin{equation}
a(\nu)=\int_0^{\infty} d\theta\, \alpha(\theta)\,e^{-i\nu\theta}
\tag{12.109}
\end{equation}
従って, 式 \eqref{2} は次に書けるであろう：
\begin{align}
&\int_0^{T} dt\int_0^{t}dt'\,\alpha(t-t')\,e^{-i\nu(t-t')}=\int_0^{T} dt\int_0^{T}dt'\,\alpha(t-t')\,e^{-i\nu(t-t')}\notag\\
&=\int_0^{T} dt'\int_0^{\infty}dt\,\alpha(t-t')\,e^{-i\nu(t-t')}=\int_0^{T} dt'\,a(\nu)=a(\nu)\int_0^{T}dt'=a(\nu)T
\label{3}
\end{align}
また、$a(\nu)$ を式 (12.111) のように実部と虚部とに分ける：
\begin{equation}
a(\nu)=a_R(\nu)+i\,a_I(\nu)
\tag{12.111}
\end{equation}
以上から, 式 \eqref{1} は次となる：
\begin{align}
P(n\to m)&=2\left|q_{mn}\right|^{2}\ \text{Re} \left\{\int_0^{T} dt\int_0^{t}dt'\,\alpha(t-t')\,e^{-i(E_m-E_n)(t-t')}\right\}\notag\\
&=2\left|q_{mn}\right|^{2}\ \text{Re} \left\{\int_0^{T} dt'\int_0^{T}dt\,\alpha(t-t')\,e^{-i\nu (t-t')}\right\}\notag\\
&=2\left|q_{mn}\right|^{2}\ \text{Re} \left\{a(\nu)\,T\right\}=2\left|q_{mn}\right|^{2}\ a_R(\nu)\,T
\label{4}
\end{align}
よって,
\begin{equation}
\frac{P(n\to m)}{T}=2\left|q_{mn}\right|^{2}\ a_R(\nu)=2\left|q_{mn}\right|^{2}\ a_R(E_m-E_n)
\tag{12.110}
\end{equation}
これが求めるべき式 (12-110) である．
(参考) 式 (12-110) の導出には式 (12-108) が必要である．この式 (12-108) の意味を理解するために, その式以前に書かれている本文の内容を簡単にまとめておこう．
系の初状態を $\phi(q)$ とし終状態を $\chi(q)$ とするとき, 系が $\phi$ から $\chi$ へ遷移する確率は, 遷移振幅 $\langle \chi |1|\phi\rangle$ の2乗である：
\begin{align}
&P[\chi(q); \phi(q)]=\Big| \BK{q_b,t_b}{q_a,t_a}\Big|^{2}=\Big|\BraKet{\chi}{1}{\phi}\Big|^{2}
=\left|\int d q_b \int d q_a\,\chi^{*} (q_b)\,K(b,a)\,\phi(q_a)\right|^{2}\notag\\
&=\left(\int d q_b \int d q_a\,\chi^{*} (q_b)\,K(b,a)\,\phi(q_a)\right)\left(\int d q_b \int d q_a\,\chi^{*} (q_b)\,K(b,a)\,\phi(q_a)\right)^{*}\notag\\
&=\int d q_b \int d q'_b\int d q_a \int d q'_a\,\chi^{*} (q_b)\chi (q'_b)\,K(b,a)\,K^{*}(b,a)\,\phi(q_a)\,\phi^{*}(q'_a)
\tag{12.79}
\end{align}
このような問題は, 次のような「2 重経路積分」を評価すれば解ける：
\begin{equation}
D(b,a)=K(q_b,t_b; q_a,t_a)\,K^{*}(q'_b,t_b; q'_a, t_a)=\int \mathscr{D}q(t)\int \mathscr{D}q'(t)\,e^{iS_0[q(t)-iS_0[q'(t)]/\hbar}
\tag{12.81}
\end{equation}
ただし, 以下ではプランク定数 $\hbar=1$ とする単位系を用いて表わすことにする．
もし外力 $f(t)$ が作用しているならば, 式 (12.81) の $S_0[q(t)]$ は $\displaystyle{S_f[q(t)]=S_0[q(t)]+\int dt\,q(t)f(t)}$ で置き換えなければならない．従って,
\begin{align}
D_f (b,a)&=\int \mathscr{D}q(t)\int \mathscr{D}q'(t)\,e^{iS_0[q(t)]-iS_0[q'(t)]}\,\exp\left\{i\int dt\,\big[q(t)-q'(t)\big]\,f(t)\right\}
\tag{12.82}\\
&\equiv \int \mathscr{D}q(t)\int \mathscr{D}q'(t)\,e^{iS_0[q(t)]-iS_0[q'(t)]}\,F[q(t),q'(t)]
\tag{12.89}
\end{align}
このとき汎関数 $F[q(t),q'(t)]$ を「影響汎関数」( influence functionals ) と呼ぶ．
\begin{equation}
F[q(t),q'(t)]=\exp\left\{ i\int dt\,\big[q(t)-q'(t)\big]\,f(t)\right\}
\tag{12.94}
\end{equation}
ただし, これは系 $q$ が古典的力 $f(t)$ の下にあるように振る舞う場合である．
もし, 「外力 $f(t)$ は確率的な意味でしか分かっていない」場合, すなわち, 「外力が $f(t)$ である確率が $P_f[f(t)]\mathscr{D}f(t)$ であること」だけが分かっている場合の「遷移確率」は, それぞれの $f(t)$ について式 (12.79) を計算し, 次に全ての $f(t)$ について重み $P_f[f(t)]\mathscr{D}f(t)$ で平均することにより得ることが出来る．従って,
\begin{align}
&P[\chi(q); \phi(q)]=\int \mathscr{D} f(t)\,P_f[f(t)]\int d q_b \int d q'_b\int d q_a \int d q'_a\,\chi^{*}(q'_b)\,D_f(b,a)\,\phi(q_a)\phi^{*}(q'_a)\notag\\
&=\int d q_b \int d q'_b \int d q_a\int d q'_a\,\chi^{*}(q_b)\chi(q'_b)\,J (q_b,q'_b;q_a,q'_a)\,\phi(q_a)\phi^{*}(q'_a)
\tag{12.83}
\end{align}
ただし $J$ は, 式 (12.82) を全ての $f(t)$ について重み $P_f[f(t)]\mathscr{D}f(t)$ で平均したものである：
\begin{align}
&J (q_b,t_b; q_a,t_a) \equiv \int \mathscr{D}f(t)P_f[f(t)]\,D_f (b,a)\notag\\
&=\int \mathscr{D}q(t)\int \mathscr{D}q'(t)\,e^{iS_0[q(t)-iS_0[q'(t)]}\int \mathscr{D}f(t) P_f[f(t)]\,F[q(t),q'(t)]
\tag{12.84}
\end{align}
式 (12.83) の形であれば, $f(t)$ についての積分は具体的に行うことが可能である．そして, 平均した後の確率を求めるためには, 次の2重積分を求めなければならない：
\begin{equation}
J=\int \mathscr{D}q(t)\int \mathscr{D}q'(t)\,e^{iS_0[q(t)-iS_0[q'(t)]}\,\Phi[q(t),q'(t)]
\tag{12.85}
\end{equation}
ただし $\Phi[q(t),q'(t)]$ は, 次式のような「確率分布 $P_f$ の母汎関数」( generating functional belonging to the probability distribution $P_f$ ) である：
\begin{equation}
\Phi[k(t)]=\int \mathscr{D}f(t)\,P_f[f(t)]\,F[q(t),q'(t)]
\tag{12.86}
\end{equation}
最も一般的なガウス型影響汎関数は唯一つの複素関数 $\alpha(t,t')$ に依存し, 次のような形になる：
\begin{equation}
F[q(t),q'(t)]=\exp\left[ -\int_0^{T} dt\int_0^{t}dt'\,\Big\{\alpha(t,t')q(t')-\alpha^{*}(t, t')q(t')\Big\}\Big\{q(t)-q'(t)\Big\}\right]
\tag{12.104}
\end{equation}
一般的には, 量子力学系で $\alpha$ は複素数である．重要な特殊な例は $\alpha(t,t')$ が時間差 $\theta=t-t'$ のみに依存する場合である：
\begin{equation*}
\alpha(t,t')=\alpha(t-t')=\alpha(\theta)
\end{equation*}
この場合, 環境系の平均的性質は時間の絶対値に依存しない．
$\alpha$ が非常に小さくて摂動論が使える場合, $q$ 系が時間間隔 $T$ の間にエネルギー準位 $n$ から直交する他の準位 に遷移する確率の1次近似を考えることが出来る．作用 $S[q]$ が状態 $k$ でエネルギー準位 $E_k$ を持つ時間に依存しないハミルトニアンから成るものを考えた場合, 時刻 $t$ での波動関数は
$\phi_n(q)=e^{-i E_n t/\hbar}\phi_n(q)$などと書けるから, この時の系 $q$ の「全遷移確率」は最終的に次式で与えられる：
\begin{equation}
P(n\to m)=2\,\big|q_{m n} \big|^{2}\ \text{Re}\left\{\int_0^{T} dt\int_0^{t}dt'\,\alpha(t, t')\, e^{-i(E_m-E_n)(t-t')}\right\}
\tag{12.108}
\end{equation}
