ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

特性汎関数について

「特性汎関数」が式(12.12)で次のように定義されている: $$ \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \Phi[k(t)]=\frac{\ds{\int \mathscr{D}f(t)\,P[f(t)]\exp\left[i\int dt\,k(t)f(t)\right]}}{\ds{\int \mathscr{D}f(t)\,P[f(t)]}} \tag{12.12} $$ この「特性汎関数」が少し分かりずらかったので要点をまとめておこう.

[1]. 確率変数$X$の確率密度関数を$p(x)$とするとき,指数関数$e^{ikx}$の期待値を「特性関数」と言い$\phi(k)$で表す: $$ \def\mb#1{\mathbf{#1}} \phi(k)\equiv E[e^{ikX}]=\langle e^{ikx}\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}p(x)\,dx \tag{12.8} $$ これは,ちょうど「関数$p(x)$のフーリエ変換で符号を逆にした式」になっている.そこで,例えばH.P.スウ:「フーリエ解析」には,「しばしばプラス$j$フーリエ変換とも呼ぶ」と書かれている.(工学の本では虚数単位に$j$を用いるのであった).

[2]. 物理学では,空間の位置の関数として与えられる量$f(x,y,z)$を扱うことが非常に多い.デカルト座標$x,y,z$を位置ベクトル$\mb{r}$の3成分と見做し$f(\mb{r})$のように記すことも多い.この場合のフーリエ変換は$x,y,z$の各々に対して行えば良いので3次元フーリエ変換とその逆変換は次に書かれる: $$ \begin{align} F(k_x,k_y,k_z)&=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^{3}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\,f(x,y,z)\,e^{-ik_x x}\,e^{-ik_y y}\,e^{-ik_z z}\,dx dy dz, \tag{1}\\ f(x,y,z)&=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^{3}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\,F(k_x,k_y,k_z)\,e^{ik_x x}\,e^{ik_y y}\,e^{ik_z z}\,dk_x dk_y dk_z \tag{2} \end{align} $$ $k_x,k_y,k_z$を3成分とするベクトルを「波数ベクトル」$\mb{k}$と言う.すると波数ベクトル$\mb{k}$と位置ベクトル$\mb{r}$のスカラー積は次となる: $$ \mb{k}\cdot\mb{r}=k_x x+k_y y+k_z z $$ さらに$d\mb{r}=dxdydz,\ d\mb{k}=dk_xdk_ydk_z$と略記してしまう.すると,上式(1),(2)は次のように簡略して書くことが出来る: $$ \begin{align} F(\mb{k})&=\frac{1}{\sqrt{8\pi^{3}}}\int f(\mb{r})\,e^{-i(k_x x+k_y y+k_z z)}\,d\mb{r} =\frac{1}{\sqrt{8\pi^{3}}}\int f(\mb{r})\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{r}}\,d\mb{r}, \tag{3}\\ f(\mb{r})&=\frac{1}{\sqrt{8\pi^{3}}}\int F(\mb{k})\,e^{i(k_x x+k_y y+k_z z)}\,d\mb{k} =\frac{1}{\sqrt{8\pi^{3}}}\int F(\mb{k})\,e^{i\mb{k}\cdot\mb{r}}\,d\mb{k}\tag{4} \end{align} $$ ( 以上の文章は、小出:「物理現象のフーリエ解析」から「多次元のフーリエ変換」についての記述を要約して抜粋したものである ).

[3]. 「$n$次確率密度関数」の場合の特性関数は、$n$個の変数による$n$次元フーリエ変換となる.それは式(12.8)の$n$次元化を上の[2].の式(1)または式(3)からの類推によって行えば良い.よって「$n$次特性関数」は次のように書けるであろう: $$ \begin{align} \Phi(k_1,k_2,&\dotsb,k_n)=\langle e^{i(k_1x_1+k_2x_2+\dotsb+k_nx_n)}\rangle\notag\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}dx_1\int_{-\infty}^{\infty}dx_2\dotsb \int_{-\infty}^{\infty}dx_n\,p_n(x_1,x_2,\dotsb,x_n)\,e^{i(k_1x_1+k_2x_2+\dotsb+k_nx_n)} \tag{5} \end{align} $$ ただし,式(12.12)を見ると分母があるので規格化因子はキャンセルされる.そのため,ここでは規格化因子は除かれる.

[4]. 時間パラメータ$t$が連続で区間$[0,T]$にあるとき,時間$t$の関数$k(t)$が同じ区間で定義されているとしよう.今までこの区間を分割する点を$t_{1},t_{2},\dotsb,t_{n}$として来たので,分割された微小区間を$\Delta t_{i}= t_{i} - t_{i-1}$とする.そして$n$次特性関数の定義式(5)に於いて$k_{i}x_{i}$を$k(t_{i})k(t_{i})\Delta t_{i}$に置き換える.すると,分割点数$n$を十分大きくし且つ$\Delta t_{i} (i=1,2,\dotsb,n)$のうち最大のものがゼロに収束するような極限操作を施すならば,次のような表式が得られる:

$$ \exp\left[ i(k_{1} x_{1}+\dotsb+k_{n} x_{n}) \right]\Rightarrow\exp\left[ i\sum_{i} k(t_i)x(t_i)\Delta t_{i}\right] \ \xrightarrow{\ \Delta t_i\to0}\ \exp\left[i\int_0^{T} k(t) x(t)\,dt\right] $$ このとき,式(5)は次となる: $$ \begin{align} \Phi[k(t)]&=E\left[\exp\left\{ i\int_0^{T} k(t)X(t) \right\}\right]=\left\langle \exp\left\{ i\int_0^{T} k(t)x(t)\,dt \right\}\right\rangle \notag\\ &=\lim_{\Delta t_i\to 0}\int_{-\infty}^{\infty}dx_1\int_{-\infty}^{\infty}dx_2\dotsb \int_{-\infty}^{\infty}dx_n\,p_n(x_1,x_2,\dotsb,x_n)\, \exp\left[i\int_0^{T} k(t) x(t)\,dt\right] \tag{6} \end{align} $$ $\Phi[k(t)]$は関数$k(t)$の関数であるので,これを「特性汎関数」(characteristic functional)と言う. この式(6)で$x(t)=f(t)$とし経路積分の表現で書き表したのが本文の式(12.12)である: $$ \begin{align} \Phi[k(t)]&=\int \mathscr{D}f(t)\,P[f(t)]\exp\left[i\int dt\,k(t)f(t)\right]\notag\\ &=\lim_{\Delta t_i\to 0}\int_{-\infty}^{\infty}df_1\int_{-\infty}^{\infty}df_2\dotsb \int_{-\infty}^{\infty}df_n\,p_n(f_1,f_2,\dotsb,f_n)\, \exp\left[i\int_0^{T} k(t) f(t)\,dt\right]\notag \end{align} $$