式(12.58)とデルタ関数の利用法 - ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

式 (12.58) は, 校訂版では指数部だけの表現に修正され, また $K(\omega)$ はその複素共役に変更されている： $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} $

\begin{equation} i\int dt\,k(t)\,f(t)=i\int \frac{d\omega}{2\pi} K^{*}(\omega)\,\phi(\omega) \tag{12.58} \end{equation}

この式を導出するにはデルタ関数の性質を利用する必要がある．物理の勉強をしていると頻繁にそのお世話になるのでその利用方法を示しながら, 式 (12.58) の導出をしてみよう．

式 (12.55) に $k(t)$ のプラス $i$ フーリエ変換式が示されている．$f(t)$ についても同様なことが, 式 (12.49) に示されている：

\begin{equation} K(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} dt\,k(t)\,e^{i\omega t},\quad \phi(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} dt\,f(t)\,e^{i\omega t} \tag{1} \end{equation}

このとき $K^{*}(\omega)=K(-\omega)$ が言えることは明らかだ．

式(1)の逆変換は次となる：

\begin{equation} k(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\omega}{2\pi}\,K(\omega)\,e^{-i\omega t},\quad f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\omega}{2\pi}\,\phi(\omega)\,e^{-i\omega t} \tag{2} \end{equation}

ディラックのデルタ関数を具体的に表現するには幾つかのやり方がある．その一つは次のフーリエ変換に関連した表式で, 一番普通に用いられるものである：

\begin{equation} \delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i k x}\,dx \tag{3} \end{equation}

この表式を利用する非常にありふれた例は, 平面波の規格化であり次のように書くことが出来る：

\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(k-k')x}\,dx=2\pi\,\delta(k-k') \tag{4} \end{equation}

この式は非常に便利に多用される．

以上のことを利用すると式 (12.58) を示すことが出来る．式 (12.58) の左辺に式(2)を用いると,

\begin{align} i\int dt\,k(t)\,f(t)&=i\int dt\,\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\omega}{2\pi}\,K(\omega)\,e^{-i\omega t} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\omega'}{2\pi}\,\phi(\omega')\,e^{-i\omega' t}\notag\\ &=i\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\omega'}{2\pi}\phi(\omega')\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\omega}{2\pi}\, K(\omega)\,\int dt\,e^{-i(\omega+\omega')t} \tag{5} \end{align}

この最後の積分は, 式(3)とデルタ関数の性質：$\delta(-x)=\delta(x)$ を利用して次のように表わされることに注意する：

\begin{equation} \int dt\,e^{-i(\omega+\omega')t}=2\pi\,\delta\{-(\omega+\omega')\} =2\pi\,\delta(\omega+\omega') \tag{6} \end{equation}

またデルタ関数の最も基本的な関係式は次であった：

\begin{equation} \int dx\,f(x)\,\delta(x-a)=f(a) \tag{7} \end{equation}

以上のことを式(4)に用いると,

\begin{align} i\int dt\,k(t)\,f(t)&=i\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\omega'}{2\pi}\phi(\omega')\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\omega}{2\pi}\, K(\omega)\,2\pi\,\delta(\omega+\omega')\notag\\ &=i\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\omega'}{2\pi}\phi(\omega') \int_{-\infty}^{\infty}d\omega\,K(\omega)\,\delta(\omega+\omega')\notag\\ &=i\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\omega'}{2\pi}\phi(\omega')\,K(-\omega') \tag{8} \end{align}

よって $K(-\omega)=K^{*}(\omega)$ を用いると,