式(11-69)の導出
前に書いた記事に関連して, 式 (11.69) の導出に挑戦した過程を示しておこう．式 (11.67) を $I=\exp(I')$ とすると $I'$ は, $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} $
\begin{align}
I' &=-\frac{1}{2}\int_0^{\beta}dt\,\dot{X}'(t)^{2}-\frac{C}{2}\int_0^{\beta}dt\int_0^{\beta}ds\,\Bigl[X'(t)-X'(s)\Bigr]^{2}\,e^{-w|t-s|}\notag\\
&\quad +\int_0^{\beta}dt\,f(t)X'(t)
\label{2017-10-29_1}
\end{align}
まずこの第１項目の積分を考える．それを部分積分すると,
\begin{equation}
\int_0^{\beta}\dot{X}^{'2}(t)\,dt=\Bigl[X'(t)\dot{X}'(t)\Bigr]_0^{\beta}-\int_0^{\beta}X'(t)\ddot{X}'(t)\,dt
\end{equation}
端点で $X(0)=X(\beta)=0$ であると第１項目はゼロとなる．更に次の式 (11.68) を利用する：
\begin{equation}
\ddot{X}'=2C\int_0^{\beta}ds\,\Bigl[X'(t)-X'(s)\Bigr]\,e^{-w|t-s|}-f(t)
\end{equation}
すると,
\begin{align}
\int_0^{\beta}\dot{X}^{'2}(t)\,dt&=-\int_0^{\beta}X'(t)\ddot{X}'(t)\,dt\notag\\\
&=-2C\int_0^{\beta}dt\,X'(t)\int_0^{\beta}ds\,\Bigl[X'(t)-X'(s)\Bigr]\,e^{-w|t-s|}+\int_{0}^{\beta} dt\,X'(t)f(t)
\end{align}
これを式 \eqref{2017-10-29_1} に代入して整理すると次を得る：
\begin{equation}
I'=\frac{C}{2}\int_0^{\beta}dt\int_0^{\beta}ds\,\Bigl[X'(t)^{2}-X'(s)^{2}\Bigr]\,e^{-w|t-s|}
+\frac{1}{2}\int_0^{\beta}dt\,X'(t)f(t)
\end{equation}
ここで第１項目がゼロ (?!) ならば, 式 (11.67) は無事に式 (11.69) となる：
\begin{equation}
I=\exp(I')=\exp\left[\frac{1}{2}\int_0^{\beta}dt\,X'(t)f(t)\right]
\tag{11.69}
\end{equation}
すなわち, 式 (11.69) となるには「10月25日に書いた積分がゼロである」と言える必要があったのである．
