問題 3-9 の解答例
Problem 3-9
Find the kernel for a particle in a constant external field where the lagrangian is
\begin{equation}
L=\frac{m}{2}\dot{x}^{2} + fx
\tag{3.61}
\end{equation}
The result is
\begin{equation}
K=\left(\frac{m}{2\pi i\hbar T}\right)^{1/2}\exp\left[\frac{i}{\hbar}\left\{\frac{m}{2T}(x_{b}-x_{a})^{2}
+\frac{f T}{2}(x_{b}+x_{a})-\frac{f^{2}T^{3}}{24m}\right\}\right]
\tag{3.62}
\end{equation}
where $T=t_b-t_a$.
(解答) 古典的作用 $S_{c\,l}$ は, 前の問題2-3 の結果式を利用出来る．ただしこの場合は $F\to -f$ となっている．よって,
\begin{equation}
S_{c\,l}=\frac{m}{2T}\left(x_b-x_a\right)^{2}+\frac{fT}{2}\left(x_b+x_a\right)-\frac{T^{3}f^{2}}{24m}
\tag{1}
\end{equation}
この場合のラグランジアン(3.61)に於いて、$x=\bar{x}+y$ とすると,
\begin{align}
L&=\frac{m}{2}\left(\dot{\bar{x}}+\dot{y}\right)^{2}+f(\bar{x}+y)\notag\\
&=\left(\frac{m}{2}\dot{\bar{x}}^{2}+f\bar{x}\right)+\Bigl( m\dot{\bar{x}}\dot{y}+f y \Bigr)+\frac{m}{2}\dot{y}^{2}
\tag{2}
\end{align}
このとき変数 $y$ の経路積分に関与するのは２次の項のみであった．従って式(3.50)と式(3.51)に相当する式は次となる：
\begin{align}
K(b,a)&=e^{iS_{c\,l}/\hbar}\int_0^{0}\mathscr{D}y(t)\,\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\int_{t_a}^{t_b}\frac{m}{2}\dot{y}^{2}\right\}
\tag{3}\\
K(b,a)&=e^{iS_{c\,l}[b,a]/\hbar}F(t_b,t_a)
\tag{4}
\end{align}
式(3)中の $y$ についての経路積分は, ラグランジアンが自由粒子の場合と全く同じであるので, 結果式(3.3)が利用できる．ただし $y_a=y_b=0$ なので結果式の指数関数部分は1なる．また $T=t_b-t_a$ とすれば, 結局次となる：
\begin{align}
F(t_b,t_a)&=\int_0^{0}\mathscr{D}y(t)\,\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\int_{t_a}^{t_b}\frac{m}{2}\dot{y}^{2}\,dt\right\}\notag\\
&=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar T}}\,\exp\left[\frac{i m (y_b-y_a)^{2}}{2\hbar T}\right]
=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar T}}
\tag{5}
\end{align}
ここで, 式(2)のラグランジアンは2次式であるから, 問題3-6の結果より, 時間因子 $F(t_b,t_a)$は$F(t_b-t_a)=F(T)$ と書けると言え, 式(5)はそのようになっていることに注意する．以上, 式(1)と式(4)そして式(5)とから次を得る：
\begin{align}
K(b,a)&=F(t_{b},t_{a})\,e^{i S_{c\,l}/\hbar}\notag\\
&=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar T}}\,\exp\left[\frac{i}{\hbar}\left\{\frac{m}{2T}(x_{b}-x_{a})^{2}+\frac{f T}{2}(x_{a}+x_{b})
-\frac{T^{3} f^{2}}{24m}\right\}\right]
\tag{6}
\end{align}
