§ 5-1 の「運動量表示への変換」の訳
和訳本の式 (5-8) の説明文が分かりづらいと感じたので自分流に訳してみた．
運動量表示への変換
粒子が時刻 $t$ において位置 $\mathbf{R}$ に存在する振幅を $\psi(\mathbf{R},t)$ と呼んできた．他方「運動量振幅」は, 式 (5.6)より次で与えられることが分かった： $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} $
\begin{equation}
\phi(\mb{p},t)=\int d^{3}\mb{R}\,\exp\left[-\mfrac{i}{\hbar}\mb{p}\cdot\mb{R}\right]\,\psi(\mb{R},t)
\tag{5.7}
\end{equation}
これを,「粒子が時刻 $t$ で運動量 $\mb{p}$ を持つ振幅」と呼ぶことにしよう．
問題を「座標表示」よりも「運動量表示」で解析する (すなわち座標空間よりも運動量空間で解析する) ことが有用であることがしばしば起こる．実際, 一方の表示から他方の表示への変換は「フーリエ変換」そのものである．従って, 運動量表示が与えられていて座標表示を求めたいならば, 次のような逆変換を行う：
\begin{equation}
\psi(\mb{R},t)=\int \mfrac{d^{3}\mb{p}}{(2\pi\hbar)^{3}}\,\exp\left[\mfrac{i}{\hbar}\mb{p}\cdot
\mb{R}\right]\,\phi(\mb{p},t)
\tag{5.8}
\end{equation}
この最後の公式 (5.8) は, 他の振幅の構造を記述するのに用いたのと同じ物理的術語を用いて説明することが出来る．つまりこの式は「粒子が位置 $\mb{R}$ に存在する振幅は, 代わり得る物たちについて和をとること(すなわち積分すること)で与えられる」と言っているのである．その場合, 各々の代替物は 2 項の積が該当していることが分かる．1 つは「運動量が $\mb{p}$ である振幅 $\phi(\mb{p})$」である．残りの項 $\exp(i\mb{p}\cdot\mb{R}/\hbar)$ は「もし運動量が $\mb{p}$ であるならば, 粒子は $\mb{R}$ の位置に居るという振幅」である．この 2 番目の因子は新しいものではない．なぜなら, このような表現式はすでに問題 3-4 で議論しているからである ( 自由粒子がある時刻 $t=0$ で確定した運動量を持っているときの波動関数は $C e^{ipx/\hbar}$ で表わされるのであった )．
式 (5.7) の変換では, 指数部分が負の符号を持っていることに注意しよう．このような項は, 前段と同様な仕方で言い表わすことが出来る．すなわち,「$\exp(-i\mb{p}\cdot\mb{R}/\hbar)$ は, もし粒子が位置 $\mb{R}$ に在るならば, それは運動量 $\mb{p}$ を持っているという振幅である」．
( 参考 ) 最後の振幅 $\exp(-i\mb{p}\cdot\mb{R}/\hbar)$ が少し分かりずらい！．上述の説明は, 後の式 (5-32) 下の議論を踏まえた表現であると思われる．そこには次のような文章がある：「$g^{*}(x)$ は, 系が位置 $x$ に在るときに特性 $G$ を持つ確率振幅である」．それは, 式 (5.31) 中の $f(x)$ として「粒子が正確に位置 $x$ にあること」を表わす Dirac のデルタ関数 $\delta(x^{'}-x)$ を代入することで数学的に示すことが出来る：
\begin{equation}
\psi(G)=\int_{-\infty}^{\infty} dx^{'}\,g^{*}(x^{'})\,\delta(x^{'}-x)=g^{*}(x)
\end{equation}
つまり, 振幅 $\exp(-i\mb{p}\cdot\mb{R}/\hbar)$ はこの $g^{*}(x)$ に相当しているのである．
Transformation to Momentum Representation.
$\ \,$ We have called $\psi(\mb{R},t)$ the amplitude for a particle to be at the point $\mb{R}$ at the time $t$. We have found that the momentum amplitude is given by
\begin{equation}
\phi(\mb{p},t)=\int d^{3}\mb{R}\,\exp\left[-\mfrac{i}{\hbar}\mb{p}\cdot\mb{R}\right]\,\psi(\mb{R},t)
\tag{5.7}
\end{equation}
We shall call this the amplitude that the particle has momentum $\mb{p}$ at the time $t$.
$\ \,$ It is often useful to analyze problems in this momentum representation rather than in the coordinate representation, or, as it is often stated, in momentum space rather than in coordinate space. Actually, the transformation from one representation to the other is just a Fourier transform. Thus if we have the momentum representation and wish to find the coordinate representation, we use the inverse transform given by
\begin{equation}
\psi(\mb{R},t)=\int \mfrac{d^{3}\mb{p}}{(2\pi\hbar)^{3}}\,\exp\left[\mfrac{i}{\hbar}\mb{p}\cdot
\mb{R}\right]\,\phi(\mb{p},t)
\tag{5.8}
\end{equation}
$\ \,$ We can describe this last formula in the same physical terms we have used to describe the structure of other amplitudes. The amplitude that the particle is at the position $\mb{R}$ is given by the sum over alternatives. In this case each alternative corresponds to the product of two terms*1. One of these is the amplitude that the momentum of the particle is $\mb{p}$, given by $\phi(\mb{p})$. The other term, $\exp(i\mb{p}\cdot\mb{R}/\hbar)$, is the amplitude that if the momentum is $\mb{p}$, then the particle is at the position $\mb{R}$. This second factor is not new to us, for we have discussed such an expression in Prob. 3-4.
$\ \,$ Note that in the transform of Eq. (5.7) the exponent has a minus sign. Such a term can be described in a manner parallel to that used in the preceding paragraph. Thus we say that $\exp(-i\mb{p}\cdot\mb{R}/\hbar)$ is the amplitude that if a particle is at position $\mb{R}$, it has the momentum $\mb{p}$.
